Wyprawa do Doliny Liczb Zespolonych

... Młodości! tobie nektar żywota

Natenczas słodki, gdy z innymi dzielę:

Serca niebieskie poi wesele,

Kiedy je razem nić powiąże złota.

Razem, młodzi przyjaciele!...

W szczęściu wszystkiego są wszystkich cele;

Jednością silni, rozumni szałem,

Razem, młodzi przyjaciele!...

Razem, wspólnie, pospołu! Ale by dzielić nektar żywota potrzebny jest kielich, inaczej nektar się rozleje. Tym kielichem są dziś liczby zespolone. Bez nich nie byłoby mowy o nowoczesnej elektrotechnice, o mechanice kwantowej, optyce. Wszędzie tam, gdzie występują drgania harmoniczne, np. w geologii, liczby zespolone są jak znalazł. Także w teorii grawitacji, gdzie formalizm oparty o liczby zespolone znakomicie ułatwia szereg trudnych obliczeń.

Liczby zespolone są tak samo proste jak i te zwykłe, rzeczywiste. A jednak z jakiegoś powodu szkoła ich unika. Nie rozumiem tego. A nam będą one potrzebne by móc zrozumieć mechanizm piękna i głębi geometrii. W umyśle Platonisty, a takim chyba po trosze jestem, nie do pomyślenia jest by Przyroda nie korzystała z takiej przepięknej, misternej i jakże prostej konstrukcji.

Zacznę od przykładu zastosowania liczb zespolonych w analizie spektralnej – transformacie Fouriera. Same liczby zespolone wprowadzę następnym razem, po czym przejdziemy do geometrii nieeuklidesowej – hiperbolicznej. Bowiem z jakiegoś powodu otwarta hiperbola podoba mi się bardziej niż zamknięta sfera. Nie to, że sfer nie lubię. Też mają swoje piękno. Niemniej Kepler usiłując zamknąć całą astronomię w figury Platońskie wpisane w sferę coś ważnego chyba przegapił. Przegapił możliwość rozwoju, możliwość twórczości, wyjścia poza to, co znane, otworzenia wrót nieznanemu. A geometria hiperboliczna to najpiękniejszy przykład geometrii, gdzie piaty postulat Euklidesa o prostych równoległych nie jest spełniony: choć jesteśmy w dwu wymiarach, to mając „prostą” L przechodzącą przez punkt A, oraz punkt B nie leżący na L, jest więcej niż jedna prosta przechodząca przez B i nie przecinająca prostej L.

Ale o tym w kolejnych notach. Dziś zabawimy się transformatą Fouriera. Czyści matematycy mi wybaczą, że trochę tu poezoteryzuję. Mogą zresztą (i tak zalecam) ten akapit odpuścić. Otóż mówimy często, że w „rzeczach” jest „energia”. Mówiąc „rzeczy”, mam na myśli także słowa, zdania, obrazy. Wzbudzają w nas często trudne do wytłumaczenia „uczucia”. Czasem nas uspokajają, kiedy indziej nas wzburzają. Otóz, dla zabawy, przyjrzyjmy się „energii”, "wibracji", tkwiącej w literze „Z” (od Zespolona). Oto ta litera, trochę mi wyszła zębata, bo projektowałem ją równankami w małej rozdzielczości.

A teraz, na tym obrazku dokonam transformacji Fouriera – nie ważne w tej chwili co to znaczy i jak się to robi, dość, że używane są do tego celu liczby zespolone. (Można się co prawda bez liczb zespolonych obejść, ale kosztem prostoty i elegancji.) Transformacja Fouriera pozwala nam zobaczyć „energie”, wibracje, mieszczące się w obrazku powyżej. Oto Z po transformacji:

Możemy to również zobaczyć w trzech wymiarach:

Znawca będzie oczywiście wiedział, że na tych dwóch ostatnich obrazkach przedstawiam jedynie amplitudę, pomijam fazę, a faza jest też ważna, nie będziemy w to teraz się zagłębiać.

Na tej transformacie Fouriera mogę teraz dokonać zabiegu, np. obetnę wyższe częstości. (Dla znawców: mnożę przez funkcję dzwonową.) Następnie, po tym zabiegu, wrócę do „naszej rzeczywistości” dokonując odwrotnej transformaty Fouriera. I co wychodzi:

Wychodzi nasza litera Z, tyle, że pięknie rozmyta, zmiękczona, zatem bez ząbków. Nie posługiwałem się przy tym Photoshopem. Robiła to wszystko matematyka, a dokładniej: komputer zaprogramowany przez informatyka używającego formuł pochodzących od matematyków.

A w krainę liczb zespolonych wyprawimy się następnym razem. Będziemy wędrować po górach i dolinach. Mam nadzieję, że pogoda dopisze.