O rzucie stereograficznym już pisałem w nocie „Punkt w nieskończoności”. Było tam jednak więcej filozofii niż konkretów. Czas teraz przejść do detali, bo w nich sie diabeł ukrywa, w nich jest pies pogrzebany.
W notach 294, 295, 296, 298 dyskutowaliśmy kilka rodzajów transformacji punktów na prostej – osi liczbowej wyposażonej we współrzędne:
odbicie względem zera (zmiana znaku na przeciwny): P(x) = -x
przesunięcie o stałą: Ta(x) = x + a
skalowania (mnożenie przez stałą): Sk(x) = kx
inwersję (odwrócenie): C(x) = 1/x
Transformacje powyższe należą do rodziny tzw transformacji konforemnych. Ta ostatnia (inwersja) sprawia nam jednak mały kłopot: nie można odwrócić zera. Dzielenie przez zero jest bowiem zabronione: nie ma skończonej liczby która pomnożona przez zero dałaby jedynkę.
Co robić? Matematycy nie lubią tego rodzaju ograniczeń. Pamiętają bowiem historię z liczbami zespolonymi. Najpierw nie wolno było wyciągać pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. Później okazało się, że owszem, można, tylko ten pierwiastek nie jest liczbą rzeczywistą a urojoną. A te urojone są nie mniej rzeczywiste niz te „rzeczywiste”, tylko inaczej trzeba się z nimi obchodzić! Zatem, tam gdzie jest zakaz – tam jest szansa na odkrycie czegoś nowego i w ten sposób na obejście tego zakazu.
I tak właśnie historia się miała z dzieleniem przez zero. Trick nazywa się „rzutem stereograficznym”. Powszechnie używają go zresztą geolodzy. Jak zrobić mapę całej planety? Jest kilka metod (różne siatki geologiczne). Jedna z nich, tak nas interesująca, prowadzi do takiej na przykład mapy:
lub takiej:
Jak taka mapa powstaje? Posłużę się gotowym obrazkiem z angielskiej Wikipedii:
Punkt P na sferze przedstawiany jast jako punkt P' na płaszczyźnie mapy. Obrazek z wikipedii jest dwuwymiarowy, nie trójwymiarowy, ale dwuwymiarowy jest dla nas w sam raz. Bo tutaj interesujemy się prostą a nie płaszczyzną. Geologowie używają sfery i płaszczyzny i rzutują ze sfery na płaszczyznę. (W dodatku przecinają oni zwykle sferę płaszczyzną nie w środku – na równoleżniku - jak na obrazku, ale gdzieś na wysokości ok 70 stopni szerokości geograficznej, północnej lub południowej, mają ku temu swoje powody). Nam będzie potrzebna prosta i okrąg – dokładnie jak na obrazku powyżej. Zauważmy, że biegun północny jest jedynym punktem nie rzutującym się na prostą – jego obraz ucieka do nieskończoności! A nieskończoności nam właśnie potrzeba.
Rozwiązanie jest więc pod ręką: należy zwinąć prostą w okrąg, bowiem okrąg ma właśnie brakujący nam punkt w nieskończoności. Pozostaje kwestia formuł jak od współrzędnej x na prostej przejść do współrzędnych X,Y punktów na okręgu. Formuła jest w Wikipedii, musimy ją tylko zaadaptować opuszczając jeden wymiar i dopasowując oznaczenia do naszych:
a na odwrót:
3) x = X/(1-Y)
Łatwo sprawdzić, nietrudnym rachunkiem, że tak otrzymane współrzędne X,Y automatycznie spełniają X2+Y2 = 1 – leżą więc na okręgu o promieniu 1 i środku w X=0, Y=0.
Z formuły na x w zależności od X,Y widzimy, że dla Y=1 mamy problem. Ale Y=1 to X=0, to biegun północny. On właśnie reprezentuje nieskończoność, której nam było brak.
Pozostaje nam do odrobienia małe zadanie domowe: znaleźć jak transformacje P, T, S, C będą działały na sferze, jeśli przeniesiemy ich działanie z prostej. Wymaga nieco rachowania.
Działanie odbicia jest proste. Z formuł 1) i 2) widać, że przy zamianie x na -x zmienia się znak X, zaś Y się nie zmienia. Zatem nasz okrąg odbija się (jeśli ktoś woli: obraca się o 180 stopni) względem osi pionowej. Flip i jest odbicie:
P(X,Y) = (-X, Y)
Działanie pozostałych transformacji przeniesionych z prostej na okrąg zostawimy na następną notkę. Mogę tylko powiedzieć co się okaże. Otóż najpierw wyda się ono bardzo skomplikowane. Dopóki nie popatrzymy na nie od innej strony, wtedy okaże się bardzo proste! I tak to już często w życiu bywa. Trzeba przejść czasem przez mękę, by dojść do piękna.
