Katastrofa na stożku świetlnym

Z witryny profesora Andrzeja Trautmana można ściągnąć pracę p.t. „Pythagorean spinors and Penrose twistors”. Pomyślałem sobie, że może warto część tej pracy przedstawić na moim blogu. Rezultatem jest niepowodzenie.

Opiszę je pokrótce, jako, że nie tylko o powodzeniu należy pisać.

Każdy zna twierdzenie Pitagorasa: a²+b²=c². Kążdy wie o tym, że w szczególności 3²+4²=5². A czy są inne trójki liczb całkowitych a,b,c o tej własności? Takie trójki liczb całkowitych nazywają się pitagorejskimi. Trautman zaczyna od uwagi, że jeśli p,q są dowolną parą liczb całkowitych, to liczby (x,y,t) dane przez

x = p²-q²,

y = 2pq,

t = p²+q²

automatycznie tworzą trójkę pitagorejską. Wystarczy sprawdzić, prosta algebra i wychodzi x²+y²= t² lub, co na jedno wychodzi,

x²+y²-t²=0.

A to jest równanie stożka świetlnego! (zakładając, że przestrzeń ma tylko dwa wymiary). Ciekawe, nieprawdaż?

Potem Trautman pisze o innych rzeczach, o niektórych z nich będę jeszcze pisał w przyszłości. Ale ja zatrzymałem się w tym miejscu i zacząłem kombinować. Przede wszystkim skąd się wzięła ta formuła na x,y, z?. Jak płaszczyznę (p,q) odwzorować na stożek? Jak to sobie wyobrazić? Trautman nic na ten temat nie napisał. Zacząłem więc rozmyślać.

Najpierw zauważyłem, że jeśli zmienimy znaki p i q, to x,y,t się nie zmieniają. De facto wystarcza więc połowa płaszczyzny, powiedzmy z nieujemnym q. I tu mnie olśniło. Wziąłem kartke papieru i narysowałem cyrklem okrąg. Wyciąłem nożyczkami połowę koła:

Wziąłem taśmę, skleiłem – wyszedł stożek. Każdy to może sobie zrobić samemu:

Stożek nie dokładnie ten od światła, bo jak ktoś porachuje, kąt jest nie taki jak trzeba – stożek jest bardziej spiczasty niż u Trautmana. Lub, jeśli ktoś woli, prędkość światła jest mniejsza od jedności, bodajże pierwiastek z trzech przez dwa. Dobry trygonometrysta zechce to sprawdzić. Ale to drobiazg, zawsze można przeskalować.

Zatem stożek miałem – z połowy płaszczyzny. Teraz przypomniałem sobie ułamki wymierne, te o których niedawno pisałem. Co to jest ułamek wymierny? To coś w rodzaju p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, bez wspólnego podzielnika. Oczywiście (-p)/(-q) = p/q, zatem nie warto rozważać obu możliwych znaków u p i u q, można przyjąć, że q jest zawsze dodatnie. Mam więc moją półpłaszczyznę, a na niej ułamki wymierne. Z każdym ułamkiem wymiernym p/q mogę związać punkt na stożku świetlnym.

Świetnie, pomyślałem. Wezmę ułamki z drzewa Fareya, zrobię z nich trójki pitagorejskie i poustawiam na stożku. Ciekawe co wyjdzie......

No i tak zrobiłem. I tu niepowodzenie (jak dotąd). Bo wyszedł bohomaz. Oto on:

Nawet się nie starałem go uładnić. Przede wszystkim widzimy, że tylko niewielki sektor stożka jest wypełniony. To jest zrozumiałe, wziąłem bowiem tylko ułamki pomiędzy zerem a jednością. W dodatku, ograniczyłem się tylko do dwunastu poziomów drzewa Fareya.

Nie jest wykluczone, że te linie wzdłuż których punkty są gęste odpowiadają złotemu podziałowi i jego kwadratowi, tak jak to było na statystyce mieszkańców drzewa Fareya – patrz Złoty Środek. Nie sprawdzałem tego.