Chcąc nie nie chcąc dyskusja na moim blogu zeszła na fraktale. Może to i dobrze, że lepiej wcześniej stanąć z dziką bestią oko w oko, niż będąc sparaliżowanym umierać ze strachu. Zobaczymy zresztą, że nie taki diabeł straszny jak go malują.
Musimy zacząć od czegoś prostego, najlepiej rysunku, bo ten przemawia do wyobraźni. Rysunek winien być prosty, ale nie za prosty. Rysunek poniżej ilustruje niezwykle ważne pojęcie: odległość Hausdorffa.
Odległość Hausdorffa: d(X,Y) = AB + CD
Weźmy dwa zbiory na płaszczyźnie: zbiór X i zbiór Y. Jeden ma kolor zielony, drugi jakby niebieskawy. (Laura wtrąca, że jeden przypomina żołądek, drugi trzustkę, ale moja znajomość anatomii nie jest wystarczająca, by powiedzieć który z nich przypomina co). Ważne jest, że są to zbiory ograniczone (nie uciekają gdzieś do nieskończoności) i każdy z nich jest domknięty – jego brzeg jest jego częścią. Najpierw w zbiorze X szukamy punktu najbardziej odległego od zbioru Y. W ten sposób otrzymujemy odcinek AB. Następnie w zbiorze Y szukamy punktu najbardziej odległego od zbioru X. Tak dostajemy odcinek CD. Jeśli chcemy kupić bilet powrotny z miasta X do miasta Y, jeśli cena jest proporcjonalna do odległości, jeśli wewnątrz miasta, pomiędzy podróżami, podróżujemy za darmo, i jeśli to nie my płacimy a podatnik, zatem chcemy podatnika maksymalnie obciążyć i wydać najwięcej pieniędzy, tak by w przyszłym roku nie obcięto nam dotacji, to oczywiście znajdziemy uzasadnienie dla odległości AB+CD. Ta suma nazywa się odległością Hausdorffa pomiędzy zbiorami X i Y. Trzeba być doprawdy Niemcem by coś takiego wymyślić!
Pojęcie odległości między zbiorami będzie nam potrzebne w przyszłości do definicji pewnej ważnej rodziny fraktali.
A teraz, skoro znamy już definicję, czas na przećwiczenie.
- Weźmy kwadrat o boku równym 1. Niech X to będzie jego obwód, Y – jedna z jego przekątnych. Ile wynosi odległość Hausdorffa pomiędzy nimi.
- Ćwiczenie drugie: Weźmy okrąg o promieniu 1. Znajdźmy odległość Hausdorffa pomiędzy tym okręgiem i pełnym dyskiem ograniczonym przez okrąg. (Pomyślmy: ile złośliwie można zażądać za bilet powrotny z okrągłego miasta do jego obrzeża? Ile w jedną, ile w drugą stronę?)
