Ułamek ułamkowi nierówny. Jedne są mniejsze od jedności, inne większe. Te mniejsze jedności, kiedy się mnożą, ich dziecię jest mniejsze od każdego z nich. Kiedy natomiast mnożą się dwa ułamki większe od jedności, wynik ich mnożenia jest większy od każdego z rodziców.
Jak to przedstawiałem wczoraj, ułamki, choć formalnie żyją na prostej – osi liczbowej, to ich prawdziwe życie, ukryte przed natrętnym obserwatorem, ma miejsce w podziemnym mieście- drzewie. To drzewo Fareya. Dla przypomnienia raz jeszcze obrazek kilku podziemnych kondygnacji.
Każdy nieupraszczalny ułamek wymierny ma tu swój adres. Te mniejsze od jedności mieszkają w lewej odnodze drzewa, te większe mieszkają w prawej. Zajmijmy się najpierw tymi lewymi. Skanując widoczny na obrazku kawałek drzewa pionową linią od lewej do prawej, skacząc przy po różnych piętrach, otrzymujemy rosnący ciąg ułamków:
¼, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, ¾
Dołączając ułamki z pietra niżej dostaniemy:
1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5
a dodając do tego jeszcze jeden, niższy poziom
1/6, 1/5, 2/9, 1/4, 3/11, 2/7, 3/10, 1/3, 4/11, 3/8, 5/13, 2/5, 5/12, 3/7, 4/9, 1/2, 5/9, 4/7, 7/12, 3/5, 8/13, 5/8, 7/11, 2/3, 7/10, 5/7, 8/11, 3/4, 7/9, 4/5, 5/6
W sumie listonosz musi obsłużyć już 31 ułamków! Jeśli poziomowi na którym mieszka ½ przypiszemy numer zero, to do poziomu -k mieszka w sumie 2k – 1 ułamków. Listonosz ma ciężki orzech do zgryzienia. Zamęczyłby i zanudziłby się na śmierć gdyby nie to, że ułamki mieszkają w przylegających do siebie a jednak różniących się od siebie domkach. Architekt, który te domki projektował nazywał się Ford. A domki nazywają się „kółkami Forda”, po angielsku „Ford circles”, zamiast okręgów będę jednak malował kółka i nazywał je kółkami. Za młodu chodziłem na kółko matematyczne, fizyczne, radiotechniczne, fotograficzne, ... – polubiłem kółka!
Otóż ten Ford (ale nie ten od Ford Motor Company), namalował na kartce papieru cztery kółka i to wystarczyło by jego imię weszło do historii matematyki. Co za sprawiedliwość! A jego pomysł był taki:
Każdy ułamek będzie mieszkał w kółku. Ułamek m/n będzie miał do swojej dyspozycji kółko o środku w punkcie o współrzędnych [x = m/n, y = 1/(2n2)] i promieniu r = 1/(2n2). Ponieważ środek kółka jest na wysokości równej jego promieniowi, to kółko dotyka osi x dokładnie w tym punkcie gdzie znajduje się ułamek.
Najpierw popatrzmy jak mieszkają Zero i Jedynka.
Jak widać dotykają się. Dalej wybudowano, według instrukcji architekta, domek dla jednej drugiej z poziomu zerowego:
Ta też miewa sie nieźle, może się komunikować z poziomem powyżej. Przyszła kolej na poziom -1, zamieszkiwany przez 1/3 i 2/3:
Póki co szło nie najgorzej. Przepuśćmy jeden poziom budowy, zobaczmy jak to było po dołączeniu poziomu -3:
Zastosowałem przy tym zoom, inaczej trudno byłoby wypatrzeć kto gdzie mieszka.
I w ten sposób nasz architekt stał się sławnym. Każdy ułamek dostał domek, żadne dwa domki nie zachodzą na siebie, co najwyżej się stykają.
Pozazdrościły ułamki z prawej gałęzi drzewa, te większe od jedności, ułamkom z lewej gałęzi drzewa. „Też chcemy mieć domki!”. Niestety architekt Ford został w międzyczasie wezwany do innych zadań. Inni zaś żądali wygórowanych sum. Aż sprawa dotarła do Fizyka, no tego co go interesują „obrzeża nauki”, wiemy o kogo chodzi.
Fizyk pamiętał o alchemicznym „tak na górze jak i na dole”. Zatem inwersja. Koła są 2-wymiarowe. Potrzebna jest więc inwersja w dwóch wymiarach. Formuła jest prosta: wektor x winien przejść w wektor C(x) według wzoru:
gdzie x2 jest kwadratem długości wektora x. Jeśli przez [x,y] oznaczymy współrzędne x i y wektora x, to wektor C(x) będzie miał współrzędne [x/(x2+y2), y/(x2+y2)]. Fizyk wiedział też, że przy inwersji kółko przejdzie w kółko. Nie przeczuwał jednak tego, że środek kółka przejdzie w środek kółka. To była niespodzianka. Nagroda za pół strony nietrudnych zresztą rachunków. W rezultacie ułamki z prawej gałęzi otrzymały podobny przepis jak te z lewej gałęzi:
Ułamek n/m, gdzie n jest większe od m, będzie mieszkał w kółku o środku w punkcie o współrzędnych [x = n/m, y = 1/(2m2)] i promieniu 1/(2m2). Przepis ten sam. Jednak wygląd jakże różny! Popatrzmy teraz na obydwie gałęzie podziemnego drzewa-miasta naraz:
Moje cztery kółka....
Znane nam już dobrze domki Zera i Jedynki są tu niewidoczne, tak sobie ich właściciele zażyczyli. (Każdy się jednak domyśli ich istnienia, bo miejsca dla nich są widoczne). Może szło o to, że teraz niczym się nie wyróżniali spośród innych Liczb Całkowitych? Jak dobrze być liczbą całkowitą! Takie np Pięć, 5/1. W mianowniku jest 1, zatem promień kółka wynosi ½, średnica 1. Maksymalny metraż dopuszczalny przez Statut Miasta Liczb Wymiernych. Czego więcej można chcieć?. Natomiast takie 1001/1000 prawie się od jedynki nie różni, tylko o jedną tysięczną, a średnica jego kółka to zaledwie 1/1000000. Co za sprawiedliwość! Niełatwo być liczbą wymierną! A jak już się ktoś urodzi z Wielkim Mianownikiem, to doprawdy klęska. Już lepiej może być liczbą niewymierną, lub wręcz transcendentalną i nie potrzebować żadnego domu?
Następnym razem przyjrzymy się nieco demografii liczb wymiernych, tych z lewej gałęzi, które muszą się wszystkie jakoś stłoczyć na odcinku pomiędzy zerem a jedynką. Te z prawej, jak się na podstawie obrazka powyżej wydaje, mają miejsca od metra.
Dla Czytelnika o zacięciu matematycznym zadania.
Zadanie 1: Równanie okręgu o środku w punkcie a i promieniu r to
(x-a)2 = r2.
Oznaczając przez y wynik inwersji y = C(x) = x/x2, pokazać, że y spełnia wtedy równanie okręgu o środku w punkcie a/(a2-r2) i promieniu r/(a2-r2). Stąd, w szczególności, wydedukować rozwiązanie Fizyka dla architektury Osiedla Liczb Wymiernych większych od jedności.
Zadanie 2: Znaleźć formułę na ilość kół potrzebnych do pomieszczenia liczb wymiernych zamieszkujących wszystkie piętra do poziomu -k włącznie. (umawiając się, że ½ i 2 mieszkają na poziomie zerowym)
