Nie ma tego złego, co by na dobre nie wyszło, stwierdza znane przysłowie. I jak każde przysłowie może przynieść skutek dobry i skutek zły. Skutek zły przyniesie wtedy, gdy przysłowiu bezmyślnie zawierzymy i kiedy naszą reakcją na zło, które nas dotyka będzie bezczynne wyczekiwanie na moment, kiedy to zło samo obróci się w dobro. Skutek może być jednak pozytywny, kiedy do rzeczy podejdziemy z głową i kiedy zaczniemy mądrze działać tak, by do max wykorzystać lekcję z doświadczonego zła. Zło się samo w dobro nie obróci. Może to jednak nastąpić przy naszym czynnym udziale.
To powiedziawszy: Wszyscy znamy ułamki: ½, 1/3, 2/3, 7/5 itd. Ułamki to liczby. Żyją sobie na prostej liczbowej:
-----------------|--------------------
Zero (0) mieszka gdzieś pośrodku, na prawo od zera mieszka 1/3, dalej na prawo ½, potem 2/3, a jeszcze dalej na prawo, za jedynką, mieszka 7/5 itd – ulica ma długość nieskończoną, zarówno w lewo jak i w prawo można iść i iść i iść, spotykając coraz to nowe ułamki.
Kiedy piszę „ułamek”, mam na myśli ułamek wymierny, t.j. postaci m/n, gdzie m i n są liczbami całkowitymi. Co więcej, będziemy zawsze mieć na myśli ułamek nieredukowalny tzn. taki, że się nie da go uprościć. Tak więc ¾ to ułamek nieredukowalny, ale 2/4 jest redukowalne, bowiem to jest to samo ½.
Okazuje się, że ułamki tak naprawdę to mają tajne zycie. Nam się wydaje, że one tak, po prostu, mieszkają na prostej, ale to tak się tylko wydaje. Tak naprawdę to one mieszkają w podziemnych tunelach, chytrze ze sobą połączonych, tworzących całe drzewa. Odkrycie to zawdzięczamy geologom, którzy są dobrzy od penetrowania miejsc trudno dostępnych w głębi ziemi.
Było to w roku 1816, kiedy brytyjski geolog John Farey zainteresował się tajnym życiem „wulgarnych ułamków”. Tak je nazywał, „vulgar fractions”, gdzie „vulgar” oznacza „zwykły”, „pospolity”. Pójdźmy więc w jego ślady, trochę tylko cała historię modernizując.
Na początku Bóg stworzył 0 i 1 (zero i jedynkę). Potem z tych dwóch ważnych symboli utworzył trzy ciekawe ułamki:
0/1 1/1 1/0
Ułamka 0/0 nawet sam Bóg bał się napisać, więc i my nie będziemy się ważyć. Natomiast 1/0, za co w szkole obrywa się pałę, nie przedstawiało dla Boga problemu. Ot, poczciwa nieskończoność, nie ma się czego bać.
Naszego geologa, Johna Fareya nudziło zwykłe dodawanie ułamków, to ze szkolnej ławy. Zaczął więc je dodawać po swojemu, „prościej”. Chcemy dodać m/n do p/q? Cóż prostszego? Dodajmy do siebie liczniki i mianowniki by otrzymać nowy ułamek (m+p)/(n+q). Czyż nie prostsze to od skomplikowanej metody szkolnej wymagającej sprowadzania do wspólnego mianownika? Dzisiaj ta niesamowicie prosta metoda „dodawania” ułamków nazywa się „sumą Fareya”. Zazwyczaj oznacza się taką sumę plusikiem w kółku. Jeśli takie dodawanie będzie mi potrzebne, by odróżnić od normalnego szkolnego dodawania będę używał symbolu @.
Ta więc 2/5@2/3 = 4/8 = 2/4 = ½. Kto by pomyślał, że 2/5 „dodane” do 2/3 to może być ½? Niemniej to, po Fareyowemu, była ½. Farey zauważył, że na osi liczbowej ½ leży pomiędzy 1/5 i 2/3. I tak było z każdymi ułamkami których próbował.
Suma Fareya m/n@p/q leży pomiędzy m/n i p/q. Ciekawe, pomyślał Farey. A że pod rękę miał pustą kartkę papieru, zaczął od trzech ułamków stworzonych przez Boga i po swojemu dodawał.
0/1@1/1=1/2 – trafia pomiędzy 0/1 i 1/1
1/1@1/0 = 2/1 – trafia pomiędzy 1/1 i 1/0
Zaczął więc rysować takie oto drzewo, rozgałęziające się w dwa drzewa, drzewo ułamków mniejszych od jedności (po lewej) i drzewo ułamków większych od jedności (po prawej):
Zadanie: kto potrafi, kierując się powyższymi wyjaśnieniami i rysunkiem dopisać dwa kolejne, niższe piętra drzewa Fareya?
Ćwiczenie: jak działa inwersja C(x) = 1/x na drzewie Fareya? Czy przenosi z piętra na piętro?
Zauważmy, że na każdym poziomie drzewa ułamki reprezentują liczby wymierne zwiększające się z lewa na prawo!
Farey się temu drzewu przyglądał, przyglądał, aż wysnuł śmiałą hipotezę. Każdy, ale to absolutnie każdy ułamek wymierny (zakładamy, że mamy na myśli tylko te większe od zera) mieszka na którymś poziomie drzewa, ma swój adres na drzewie: numer poziomu, numer na poziomie, licząc od lewej. Farey nie był jednak w stanie tego matematycznie udowodnić. Zrobił to w tymże roku 1816 francuski matematyk Augustin Cauchy. Po czym odkryto, że sam pomysł drzewa oraz dowód hipotezy Fareya należy zawdzięczać niejakiemu Harosowi, który to zrobił czternaście lat przed nimi.
Tak naprawdę, to Farey wyhodował tylko lewą gałąź drzewa, ta z liczbami mniejszymi od jedynki. Dziś drzewo to nazywa się czasem drzewem Fareya, czasem drzewem Harosa-Fareya, zaś całe drzewo, z obiema gałęziami, nazywa się też drzewem Sterna-Brocota. Nadawane nazwy wynikają z przypadku, z tradycji, z tego, że jak ktoś coś raz nazwał, to inni juz za nim powtarzają bez względu na to kto tak naprawdę co odkrył. Jednym z podawanych przez matematyków powodów dla których dziś używa się nazwy „drzewo Fareya” jest to, że „Farey się łatwiej wymawia niż Haros”! Faktycznie. Ludzie o trudnych nazwiskach maja znacznie mniejsze szanse na wejście do historii. I mi byłoby łatwiej gdybym się nazywał Ajstein lub Ajwe.
Drzewo drzewem, jedna rzecz to mieć jego plan a inna to umieć je wykorzystać do gry w klasy. I tym się zajmiemy następnym razem, nawet nie podejrzewając dokąd nas te niewinne zabawy zaprowadzą. Póki co zauważmy, że z prostej (jednego wymiaru) weszliśmy na drzewo, a to dwa wymiary. Jednocześnie działamy wbrew prawom ewolucji. Podług atejistów małpa zeszła z drzewa i została człowiekiem, a my rozwijamy się wchodząc na drzewo z powrotem.
Literatura do tego kawałka to m.in. dzieło trzech gracji:
Jalane Amen, Shauna Green, Anne Schmidt, „Farey Sequences, Ford Circlesand Pick's Theorem Expository Paper”.
A o kołach do Forda to dopiero będzie w przyszłości.
