Nie byłem w La Scali. Ufam jednak, że fotografia poniżej nie kłamie.
A może kłamie? Te ludziki na widowni nie są na zdjęciu jednakowej wielkości. A przecież w rzeczywistości chyba są? Te loże też nie są w rzeczywistości coraz mniejsze czym bliżej środka.
Ach, wiemy przecież, to kwestia perspektywy! Leonardo da Vinci mistrzowsko wykorzystywał te nieszczęsne, nieistniejące, nierzeczywiste linie proste, które tak oburzają Atejistów:
Mamy tu do czynienia ze skalowaniem. Czym dalej jest od nas dany przedmiot, tym mniejszy się wydaje. Zmniejszeniu ulegają, w tej samej skali, wszystkie jego wymiary. Czy sądzimy, że robi się też odpowiednio lżejszy? W podświadomości chyba tak. Mały ludzik - mało waży.
Te nieszczęsne nieistniejące proste tłumaczą też jak powstał ten obraz:
A powstał tak: nieprzeźroczystą folią przysłonięto dokładnie okna. W środku jednego z arkuszy zrobiono okrągłą dziurkę. Na przeciwległej ścianie powstał odwrócony obraz świata zewnętrznego. Ten obraz sfotografowano zwykłą kamerą przy długim czasie (pewnie z kilkanaście sekund) naświetlania. Nazywa się to „camera obscura”. Malarze używali kiedyś tej metody tworząc krajobrazy i portrety:
I znów widzimy nieistniejące linie proste i skalowanie.
Skalowanie rzeczywiste, nie tylko pozorne, występuje też w idei konstrukcji wieży Babel. Każde piętro to powtórzenie piętra niżej, tylko w mniejszej skali. Który z poniższych obrazków przemawia do nas, uderza nas najbardziej? (Kliknij na obrazek, by zobaczyć go w powiększeniu)
A oto Biblioteka Babel (Jorge Luis Borges napisał książkę pod tym tytułem):
W praktyce mamy często do czynienia ze skalowaniem pasywnym:
Musimy przeliczać z cali na centymetry, z centymetrów na piksele itp. Linia jest ta sama, tylko podziałka się zmienia.
Wracając do skalowania aktywnego: jeśli oznaczymy przez Sk transformację skalowania przez czynnik skali k, to punkt na prostej o współrzędnej x przechodzi w punkt na prostej o współrzędnej kx:
Sk(x) = k x
W poprzedniej nocie poznaliśmy transformację odbicia (względem poczatku wspólrzędnych) P:
P(x) = -x,
transformacje Ta translacji o a:
Ta(x) = x + a,
a dziś poznaliśmy transformację skalowania przez czynnik k.
Warto także wprowadzić transformację identycznościową I, która niczego nie zmienia:
Nietrudno zobaczyć, że przesuwając najpierw o a, potem o -a, w sumie wychodzi przesunięcie o zero, czyli transformacja identycznościowa:
T-aTa = T0 = I
Ogólniej:
TbTa = TaTb = Ta+b
Podobnie ze skalowaniem, tyle, że dodawanie przesunięć zastąpione zostaje mnożeniem skali:
SkS1/k = S1 = I,
SkSl = SlSk =Skl.
Z odbiciem sprawa jest prosta: odbić dwukrotnie, to wrócić do stanu wyjściowego:
P2 = I .
Następnym razem poznamy ostatnią z ważnych transformacji, najbardziej „ezoteryczną”. Otworzy nam ono wrota do nieskończoności. To właśnie o tę nieskończoność pokłócili się kiedyś strasznie, mało się nie pozabijali, matematyk Hermann Weyl z filozofem Hansem Reichenbachem.
