Przyjrzyjmy się raz jeszcze diagramowi odwzorowania logistycznego. Najpierw wyjaśnienie jak ten diagram należy czytać.
W myśli rysujemy pionową linię – to wybór parametru r decydującego o stopniu wzrostu populacji z pokolenia na pokolenie. Na rysunku parametr ten może mieć wartości pomiędzy 2.8 a 4. Dla danej wartości parametru, np r = 2.8, startujemy od dowolnego x pomiędzy zerem a jedynką, i (by otrzymać ten konkretny diagram), stosuję, dla rozbiegu i stabilizacji, 300 razy odwzorowanie
x=> r x (x+1)
Po trzystu razach nanoszę następne (dla tego konkretnego diagramu) tysiąć wyników na wykres. Dla r = 2.8 wszystkie następne 1000 wyników trafia praktycznie w ten sam punkt – zaznaczony na czerwono. Podobnie dla r = 2.9. Natomiast dla r = 3.2 trafiamy w jeden z dwóch punktów (okres dwa). Raz w jeden, raz w drugi. Na przemian. Z tysiąca tysiąca kroków pięćset trafia w jeden, pięćset w drugi.
Dla r = 3.7 – trudno powiedzieć, czy trafiamy w jeden ze stu czy dwustu milionów możliwych punktów, czy też też punktów możliwych do trafienia jest nieskończenie wiele, nawet nieprzeliczalnie wiele. Wygląda to na chaos. Ale potem, przy r trochę mniejszym od 3.83, chaos się uspokaja i powstaje okno porządku z okresem 3. Zróbmy zoom na okolice tego okna:
Widzimy okres trzy, i ten się rozdwaja i rozdwaja, wchodzi w chaos, chaos się uspokaja, widzimy nowe okno porządku, gdzieś między 3.85 a 3.86. Wybierzmy to okno, ze środka, zróbmy znów zoom w okolice tego okna:
Widzimy znowu okna, wciąż węższe i węższe .... i tak w nieskończoność.
Wybraliśmy okno o okresie trzy. Są wszak okna o dowolnych okresach. Dowodzi się, że dla każdej liczby pierwszej p jest (2p-2)/(2p) okien o okresie p. Dla ilu wartości r mamy zachowanie nieokresowe? Tego nikt nie wie. Tzn nieznana jest miara tego zbioru. Wiadomo, że jest dodatnia, tzn. „prawdopodobieństwo” trafienia w chaos jest większe od zera. Jeśli jednak r jest takie, że dla tego właśnie r mamy chaos, to w dowolnie małym otoczeniu tego r znajdziemy okna porządku.
Nie ma zatem praktycznie żadnego sposobu by odróżnić zachowanie naprawdę chaotyczne od zachowania okresowego, ale o BARDZO DŁUGIM OKRESIE.
Czy sama Przyroda te rzeczy rozróżnia? Czy matematyka wielkości nieskończenie małych, ta którą od czasów Newtona i Leibnitza stosujemy, jest adekwatna dla opisu rzeczywistości? Nad tym pytaniem zastanawiają się matematycy i filozofowie.
Komentarze