Ja bifurkuję, ty bifurkujesz, on-ona-ono bifurkuje.
My bifurkujemy, wy bifurkujecie, oni, one bifurkują.
Przez bifurkacje droga do złożoności a stąd do chaosu.
Pisałem o bifurkacjach. Będę pisał więcej.Tych matematycznych i tych wokół nas.
Odwzorowanie logistyczne
x=> r x (1-x)
jest zarazem proste i złożone. Zmieniając parametr r w przedziale od 1 do 4 oraz badając atraktor (patrz poprzednie wpisy) znajdujemy najpierw zjawisko bifurkacji – podwajania okresu:
Pierwsze podwojenie odbywa się dla r = r1 =3.
Drugie podwojenie dla r = r2 = 1+√6 = 3.4495...
Trzecie dla r = r3 = 3.5441...
Czwarte dla r = r4 = 3.5644...
itd do nieskończoności.
A ta nieskończoność następuje już przy
r = r∞ = 3.5699...
Uwaga: Porządek oscylacji przy danym r zależy w interesujący sposób od wyboru początkowego punktu x - patrz "ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНОГО ЛОГИСТИЧЕСКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ, РОДСТВЕННЫХ ДИСКРЕТНЫХ СТРУКТУР И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ
ДОЛГОСРОЧНОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ", Безрядина И. А., Дубровский С. А.
Biorąc kolejne stosunki odległości pomiędzy kolejnymi podwojeniami okresu:
(rn-1 – rn-2)/(rn-1 – rn)
otrzymujemy ciąg liczb zbieżnych do tzw stałej Feigenbauma δ.
Można ją wyliczyć numerycznie, choć nie jest proste. Oto wynik, z dość dużą dokładnością:
δ=
4.66920160910299067185320382046620161725
8185577475768632745651343004134330211314
7371386897440239480138171659848551898151
3440862714202793252231244298889089085994
4935463236713411532481714219947455644365
8237932020095610583305754586176522220703
8541064674949428498145339172620056875566
5952339875603825637225648004095107128389
0611844702775854285419801113440175002428
5853824983357155220522360872502916788603
6267452721339905713160687534508343393444
6103706309452019115876972432273589838903
7949462572512890979489867683346116268891
1656312347446057517953912204556247280709
5202198199094558581946136877445617396074
1156140742437544354992048691809826486523
6843870279964901739779342513472380873713
6211601860128186102056381818354097598477
9641739003289361714321598782407897766143
9139576403776053711909693206699836198428
8981837003229412030210655743295550388845
8497370347275321219257069584140746618419
8196100612964016148771294441590140546794
1800198133253378592493365883070459999938
3754117265635530168625290322108623205506
34510679399023341675...
W przybliżeniu 4.67. Odstęp do następnego podwojenia okresu jest więc, dla dostatecznie dużych okresów, za każdym razem około 4.67 razy mniejszy.
Dla zabawy przekształciłem stałą Feigenbauma, z powyższą wartością, wyrażając ją w układzie dwójkowym i zastosowałem metodę jak w spirali Ulama, by zobaczyć czy są jakieś prawidłowości w rozkładzie bitów. Zobaczyłem jednak tylko chaos:
Dopuszczając dla r wartości zespolone i tnąc płaszczyzną rzeczywistą otrzymujemy surrealistyczny diagram bifurkacji:
Ten obrazek wziąłem stąd.
A te obrazki:
sugerujące związki pomiędzy bifurkacjami a sztuką, wziąłem stąd.
