Rozdwajanie jaźni

Psychiatra rozmawia ze swoim kolegą. - Mam świetnego pacjenta, on cierpi na rozdwojenie jaźni.

I cóż w tym świetnego? - pyta kolega po fachu.
To że obydwaj mi płacą.

Trzech przyjaciół pracujących w różnych zawodach (lekarz, architekt i polityk) spierają się który z zawodów jest najstarszy.
   "Bóg stworzył Ewę z żebra Adama, była to niewątpliwie praca o charakterze medycznym" - powiedział lekarz.
   "Wcześniej Bóg stworzył świat z chaosu, była to niewątpliwie praca o charakterze architektonicznym" - odpowiedział architekt.
   "A jak myślicie, kto stworzył chaos" - zapytał polityk.

(Zaczerpnięte z witryny hotnews.pl)

Rozdwojenie, z angielska – bifurkacja. Tym się właśnie dziś zajmiemy na przykładzie odwzorowania logistycznego

x=> r x (1-x)

o którym pisałem już poprzednio. Kolejne, coraz częstsze rozdwojenia – to królewska droga do chaosu. Przypomnijmy, że parametr r, większy od jedności, określa poziom reprodukcji populacji, z pokolenia na pokolenie. Czynnik pierwszy, z, to czynnik wzrostu. Czynnik drugi, 1-x, do czynnik hamujący, wchodzi w grę gdy gęstość populacji dochodzi do maksimum dopuszczalnego przy danych zasobach. Ostatnim razem badaliśmy co się dzieje gdy parametr r był mniejszy od 3. Przy r = 3.01 widzieliśmy, że zamiast stabilizacji, pojawiła się oscylacja populacji. Pojawia się pytanie: jakimi wartościami parametru r warto się interesować? Wykres funkcji f(r,x) = r x (1-x) wygląda tak:

Widzimy też płaszczyznę odpowiadającą f(r,x) = 1. Chcąc mieć wykres nie wystający ponad tę płaszczyznę (maksymalna gęstość) musimy mieć r mniejsze lub równe 4. I tym zakresem wartości parametru r się dziś zajmiemy. W zakresie tym, pomiędzy 3 a 4 pojawia się nieskończone bogactwo zachowań.

Nota: Można oczywiście badać co sie będzie działo i dla r większego od czterech – prowadzi to do tzw dynamiki symbolicznej – nie będziemy się tym zajmować.

Aby mieć wgląd w możliwe zachowania, przyjrzyjmy się tzw diagramowi bifurkacyjnemu. Na osi poziomej jest r, na osi pionowej jest x:

Metoda sporządzenia wykresu jest prosta. Dla danej wartości r startujemy od jakiejś wartości x, jakiej – nieważne (wykres będzie wyglądała tak samo bez względu na punkt startu), i wykonujemy pewna liczbę iteracji x => r x (1-x), np 300, tych nie nie rysujemy. Następne 300 punktów rysujemy. Zwiększamy r, np o 0.01, i znów robimy to samo. Aż do r = 4. Powstaje grafik jak powyżej. Te niebieskie punkty tworzą zbiór który unaocznia nam atraktor.

Z wykresu widać, że dla r pomiędzy r₀ = 3 a r₁ = 3.449489... (zaznaczone czerwoną pionową kreską) będziemy mieli oscylacje pomiędzy dwiema wartościami. Dla r większego od r₁ ale mniejszego od tego zaznaczonego następną czerwoną kreską, będziemy mieli oscylacje pomiędzy czterema wartościami. I tak dalej. A jak te oscylacje wyglądają? Oto one:

Dla r = 3.06

Dla r = 3.5

Dla r = 3.564

Z diagramu bifurkacji nie widać zbyt dobrze samo-podobnej, fraktalnej struktury atraktora. Możemy ją przestudiować posługując się np programem Chaos for Java. Na kolejnych obrazkach robię zoom na kolejne rozwidlenie – bifurkację, czyli podwojenie okresu.