Pantofelek (Paramecium), pierwotniak z rodzaju zaliczanego do typu orzęsków, charakteryzujący się wydłużonym ciałem o asymetrycznym kształcie przypominającym obrys ludzkiej stopy.
Pantofelki osiągają długość ciała 0,05-0,3 mm. Pokryte są rzędami rzęsek, których ruchy umożliwiają im poruszanie się w określonym kierunku, jak również zdobywanie pokarmu. Więcej np tutaj.
Pantofelka można hodować i mieć z tego zadowolenie, bo pantofelki, w przeciwieństwie do pieniędzy, rozmnażają się szybko. Przypuśćmy więc, że hodujemy pantofelki w próbówce. Hodujemy przez 11 dni i każdego dnia zliczamy nasz stan. Dane wyglądają (przykładowo) tak:
W 0.5 ml mieści się coraz więcej pantofelków. Te dane wydają się układać w jakąś regularną zależność. Tylko co to jest „zależność”? I gdzie mieści się „zależność”? Pantofelki to wiemy, one „istnieją”. To ontologia. Ale zależność? Czy ta zależność obiektywnie istnieje, czy też jest jedynie wytworem naszej wyobraźni? Czy pytanie o „charakter” tej zależności jest pytaniem zdrowym? Czy nie teoretyzujemy zbytnio, narażając się tym samym na bezlitosną krytykę wrogów teoretyzowania?
Cóż, zaryzykujmy, tak jak ryzykowali wszyscy badacze w przeszłości i pobawmy się danymi. Miast robić wykres liczby pantofelków na pół mililitra, wykreślmy logarytm tej liczby, może nasze dane się trochę wyprostują? Wygląda to tak:
Po początkowych fluktuacjach logarytmy zdają sie układać na prostej. Czy tak prosta istnieje? Czy jest tylko nasza iluzja? Ale co to jest „istnienie” i co to jest „iluzja”? Szkolna matematyka pozwala nam wydedukować, że jeśli nasz hipotetyczna prosta ma coś wspólnego z rzeczywistością, to z każdym dniem mamy exp(0.337) = 1.4 raza więcej pantofelków w próbówce niż dnia poprzedniego. Nic dziwnego, pantofelki się przecież mnożą. Eksperyment postanawiamy poprowadzić dłużej, by sprawdzić naszą roboczą hipotezę. Po dwudziestu dniach powinno być
Exp[20*0.337 + 1.239] = 2919 pantofelków w 0.5 ml, a po dwudziestu jeden dniach 1.4*2919 = 4087. Hm... Z taką gęstością pantofelki będą upakowane jak śledzie i się albo poduszą albo rozsadzą próbówkę. Każdy wzrost wydaje się mieć granice.
Zdrowy doświadczalnik widzi, że coś z ta teorią jest do bani. Doświadczenie wykazuje bowiem, że po 11 dniach pantofelki zaczynają się mnożyć wolniej i wolniej. Oto dane doświadczalne:
Kiedy w próbówce znajdują się jednocześnie dwa gatunki pantofelków, zaczynają współzawodniczyć ze sobą, następuje wzajemne wypieranie się, walka o byt, walka o przestrzeń. Krzywe się komplikują. Tak czy siak, zamiast wybuchu następuje wysycenie. Przy pewnej gęstości albo następuje stabilizacja albo populacja zaczyna fluktuować, raz ich przybywa, to znów ubywa.
Zostawmy więc w spokoju zjawisko współzawodnictwa między odmianami i spróbujmy wymodelować jakąś formułą matematyczną zjawisko nasycania. Nie musimy przy tym niczego odkrywać na nowo, bo już w roku 1844 czterdziestoletni wówczas Belg, Pierre François Verhulst zajmował się podobnym problemem starając się znaleźć model matematyczny pozwalający przewidzieć wzrost liczby mieszkańców Belgii. Zaproponował zmienne tempo wzrostu, tym wolniejsze czym bliżej wartości granicznej. W zastosowaniu do pantofelków formuła typu Verhulsta wygląda tak:
N(t+1) – N(t) = 0.5 [(290 – N(t)) /290] N(t),
gdzie t jest liczbą dni. Współczynnik wzrostu wynosi tu nie stałe 0.337, ale 0.5 pomnożone przez czynnik (290 – N(t)) /290 zależny od liczby N(t). Gdy N(t) zbliża się do wartości krytycznej 290 pantofelków na 0.5 ml, wzrost się zatrzymuje.
Porównanie naszego modelu z danymi z doświadczenia wygląda teraz nie najgorzej. Chcąc naszą formułę uczynić bardziej uniwersalną, uwolnić się od charakterystycznej dla naszego doświadczenia liczby 290, wprowadzamy, zamiast liczby N(t) stosunek x(t) = N(t)/290. Dzieląc wtedy obie strony naszego równania przez 290 otrzymujemy:
x(t+1) - x(t) = 0.5 (1-x(t)) x(t)
Miast współczynnika 0.5, charakterystycznego dla naszego pantofelka, wprowadzamy ogólniejszy współczynnik r. Nasze równanie wygląda teraz tak:
x(t+1) – x(t) = r x(t) (1-x(t))
W tej postaci nosi ono nazwę równania logistycznego. Znalazło dziś zastosowanie do modelowania wielu różnych procesów wzrostu przy ograniczonych zasobach, np do modelowania zachowania się rynku. Równanie to zaczęło też żyć własnym życiem, bowiem, jak się okazało, w tej prostej formule kryje się nieskończone wręcz bogactwo różnych zachowań, zachowań, które w przyrodzie dostrzegamy dziś niemal na każdym kroku. Odkrycie tych dziwnych własności i możliwych zachowań stało się możliwe dzięki wykorzystaniu komputerów.
Równania logistycznego możemy dziś używać także do generowania liczb przypadkowych. Przy małej kosmetyce liczby generowane odpowiednim algorytmem przez nieco zmodyfikowane równanie logistyczne przechodzą pozytywnie wszystkie poważniejsze testy dla liczb losowych.
cdn
Komentarze