Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
523
BLOG

Platonizm i co dalej

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Kultura Obserwuj notkę 30

HipoTeza: Istnieje rzeczywistość innego rodzaju niż ta do której jesteśmy przyzwyczajeni. Niektórzy ludzie mają dostęp bezpośredni do tej rzeczywistości. Bezpośredni, choć ich ogląd tej rzeczywistości jest filtrowany przez uwarunkowania genetyczne i wychowanie. Wśród tych ludzi są np. matematycy, mistycy, artyści i sawanci, ale nie tylko. Formy matematyczne są częścią tej rzeczywistości.

Hipotezę tę zilustruję przykładem matematyka hinduskiego Srinivasy Ramanujana (1887-1920).

 

Srinivasa Ramanujan

 

Ramanujan był geniuszem, zmarł młodo, był religijny i, jak to w naszej kulturze nazywamy, przesądny. Ze swojej dłoni wyczytał, że nie pożyje dłużej niż 36 lat. Och, przesądny był. W snach przemawiała do niego bogini i dyktowała mu formuły matematyczne. Och, nie tylko przesądny ale i głupi był.

Szczęśliwie istnieje świetne opracowanie w języku polskim na ten temat, więc z wybranych fragmentów tego opracowania skorzystam. Polecam wszakże gorąco zapoznanie się z całością. Moja konkluzja jest jednak różna od konkluzji autora tego opracowania – idzie dalej, znacznie dalej. Ale to już ja, taki jestem. Obrzeża mnie nie przerażają, sam do nich należę.

Do fragmentów z opracowania Łukasza Lamży dodam moje własne komentarze.

Inna matematyka

Łukasz Lamża

W panteonie nauk matematyka cieszy się wyjątkową sławą nauki zdolnej do osiągnięcia prawdziwej pewności. To specyfika metody dedukcyjnej sprawia, że zdanie „2+2=4” zawsze będzie miało inny charakter epistemologiczny niż zdanie „We wnętrzu Ziemi znajduje się płynne jądro”, jakkolwiek silne by nie były dowody obserwacyjne wskazujące na prawdziwość tego drugiego zdania. Twierdzenie matematyczne, gdy tylko zostanie udowodnione, nie wymaga dalszego potwierdzania: jego prawdziwość jest apodyktyczna. Matematycy wypowiadają się o tej własności z wyraźną dumą:

G. H. Hardy traktował to poczucie jako ograniczenie narzucone na filozofię matematyki: „Wydaje mi się, że żadna filozofia nie może spotkać się z sympatią matematyka, jeśli nie uzna, w takiej czy innej formie, niezmiennej i bezwarunkowej prawdziwości prawdy matematycznej. Twierdzenia matematyczne są prawdziwe lub fałszywe; ich prawdziwość lub fałszywość jest absolutna i niezależna od naszej o nich wiedzy. W pewnym sensie, prawda matematyczna jest częścią rzeczywistości obiektywnej ”.


Komentarz AJ: Byłbym tu ostrożniejszy. Twierdzenia matematyczne są fałszywe lub prawdziwe gdy ograniczamy się do logiki dwuwartościowej i postępujemy tak, jak postępuje większość matematyków.


Przejście od epistemologicznej pewności do sądów ontologicznych następuje, jak widać, podejrzanie łatwo – skoro prawdziwość sądów matematycznych jest absolutna, czyż nie kłóci się to z ich istnieniem „po prostu” jako tworów człowieka? Wielu matematyków przylgnęło w konsekwencji do stanowiska nazywanego czasem „matematycznym platonizmem”, zgodnie z którym obiekty i sądy matematyczne istnieją niezależnie od ludzkiej rzeczywistości kulturowej (w której matematyka stanowi po prostu jeden z wyspecjalizowanych języków ufundowanych aksjomatycznie) jako część „rzeczywistości obiektywnej”.


Komentarz AJ: Co innego obiekty a co innego sądy. Nie tylko warto ale, moim zdaniem, należy odróżnić jeden od drugich.

............

Filozofia matematyki poświęciła wiele uwagi problemowi intuicji; jeden z kluczowych filozofów zajmujących się tym tematem, Charles Parsons, wyraził w jednym ze swoich tekstów przekonanie, że „przynajmniej elementy prostej arytmetyki [ ... ] mogą stać się intuicyjnie oczywiste ”4. Skoro zaś jedno twierdzenie („2+2=4”) można uzasadnić intuicyjną oczywistością, czemu nie wszystkie pozostałe? Problem ten zostanie zbadany bliżej w dalszej części pracy.

Nakreślona w ten sposób kontrowersja rzuca nowe, interesujące światło na status ontologiczny obiektów i sądów matematycznych.

................

Wszystkie te uwarunkowania mają fundamentalne znaczenie dla pytania, czym jest współczesna matematyka? W granicach matematyki rozumianej na sposób opisany powyżej, czyli jako formalny język ufundowany na aksjomatach, pytanie, czym jest liczba jeden, znajduje natychmiastową odpowiedź w ramach aksjomatów teorii zbiorów: 1 = {ø}.


Komentarz AJ: Jest to dla mnie wręcz zabawne. Matematycy pocą się by wyjaśnić czym jest liczba jeden, zakładając, że ludzie dobrze wiedzą czym jest liczba jeden i że potrafia rachować. Np., że patrząc na napis {ø} zobaczą, że są tam dwa nawiasy i jeden znak w środku a nie jeden bohomaz.


Możliwość podania formalnej definicji każdego obiektu matematycznego odsuwa w dal problem „platonizmu”, dopóki matematykę traktuje się jako ów sformalizowany język, którym posługują się matematycy. W tych ramach równie jasne jest źródło pewności dotyczącej prawdziwości danego twierdzenia matematycznego: jego ono prawdziwe, ponieważ gwarantują to prawa logiki. Taka koncepcja matematyki stoi jednak, jak się okazuje, w jawnej sprzeczności z matematyką, która „żyje” w umysłach matematyków.

 

Jest całkowicie oczywiste, żaden konkretny zbiór znaków na papierze nie jest niezbędny dla myślenia o liczbach naturalnych”10 – pisze Daniel Isaacson. Cytowana wcześniej wypowiedź Parsonsa zdaje się sugerować to samo. Codzienne doświadczenie uczy, że osoby niezaznajomione z aksjomatyczną strukturą matematyki mogą swobodnie wykonywać nawet wyrafinowane obliczenia; okazuje się ponadto, że do wykonywania prostych operacji arytmetycznych nie jest potrzebna żadna w ogóle edukacja matematyczna.

Komentarz AJ: Prawa logiki niczego nie gwarantują. Gwarantują to ludzie którzy umówili się jak się tymi prawami logiki w danych okolicznościach posługiwać. Róznica tylko pozornie nieistotna.

..........

Nie jest łatwo określić, czym właściwie jest liczba 35, gdy jawi się w ludzkim umyśle; tym trudniej jest więc uchwycić, jakie są mechanizmy myślenia, które każą nam być bezwzględnie pewnym, że „35 = 7 × 5”. Można jednak swobodnie wnioskować przez analogię, że mechanizmy te nie pokrywają się z formalnym dowodzeniem prawdziwości tego zdania na gruncie zaksjomatyzowanej matematyki. Pouczającym przykładem będzie pewnie skonfrontowanie zawartości własnego umysłu, gdy prezentuje się mu zdanie „1+1=2”, z formalnym wywiedzeniem tego faktu, które Russell i Whitehead zamieścili, jako twierdzenie 54-43, w Principia Mathematica

 

1+1=2

..........

 

Komentarz AJ: Konteplacja tego obrazka może skłonić nas do medytacji nad tym jak ciężką i niewdzięczną, lecz prawdopodobnie ważną rolę mają ludzie do spełnienia tutaj, w tej naszej ziemskiej rzeczywistości.


Ramanujan przez całe życie otwarcie i konsekwentnie utrzymywał, że inspirację zawdzięcza bogini-opiekunce jego rodziny, Namagiri, która zsyłała mu natchnienie we śnie... Zanotowano również jego wypowiedź, w której twierdził, iż „równanie nie ma dla mnie znaczenia, jeśli nie wyraża myśli Boga” . W zrozumieniu fenomenu jego kreatywności nie pomagał fakt, że momenty olśnienia faktycznie przychodziły czasem we śnie. Narayana Iyer, indyjski matematyk, z którym Ramanujan współpracował jeszcze w Indiach, wspominał, że „czasem, gdy już poszli spać, Ramanujan budził się i w migotliwym świetle lampy sztormowej notował coś, co, jak wyjaśniał, przyszło do niego we śnie.”

Wszystkie te rewelacje nie są mile widziane przez zwolenników racjonalnego tłumaczenia źródła zjawisk umysłowych.

Komentarz AJ: Można zapytać „dlaczego?”. Czemu racjonaliści tak zaciekle atakują mistyków? W dialogach pomiędzy Smarandachem a Liu, kiedy Smaradnache deklaruje się jako ateista, Liu pyta: „czy ateizm nie jest przypadkiem innego rodzaju religią?”

...............

Istnieje dobrze zbadany i opisany przypadek Holendra Wima Kleina, który, pośród innych osiągnięć, w kontrolowanych warunkach obliczył w niecałe 3 minuty pierwiastek 73 stopnia z 507-cyfrowej liczby. Znane są też przypadki głęboko upośledzonych osób nie potrafiących wykonać prostych operacji arytmetycznych, które jednak są w stanie momentalnie podać, jaki był dzień tygodnia, powiedzmy, 7. stycznia 465 roku. Co ważne, istnieją niezliczone metody matematyczne pozwalające na rozwiązanie tego problemu (podobnie jak obliczenie ww. pierwiastka), żadna z nich jednak nie wydaje się pozwalać człowiekowi na osiągnięcie wyniku tak szybko. Innymi słowy, najbardziej biegli i doświadczeni matematycy, którym przyszłoby obliczyć rzeczony pierwiastek „legalnymi” metodami, potrzebowaliby na obliczenia kilka rzędów czasu więcej. Wygląda na to, że sawanci nie wykonują po prostu „legalnych” obliczeń szybciej – oni uzyskują wynik zupełnie inną metodą, której wyjaśnić nie są oczywiście w stanie.

...................

Są przypadki, w których trudno wyciągnąć inną konkluzję: „Jednym z nich był 26 letni Anglik, który doznał ataku epilepsji, gdy miał trzy lata. Od tego czasu był w stanie widzieć liczby jako kształty, kolory i tekstury. Nie tylko posiadał zdolności sawanta, potrafił również opisywać, co jawi mu się w umyśle. «Gdy mnożę przez siebie liczby», opowiadał, «widzę dwa kształty. Obraz zaczyna się zmieniać i ewoluować, po czym wyłania się trzeci kształt. To jest odpowiedź. To wszystko obrazy. To jak matma, tylko że nie muszę myśleć. »” Łatwo znaleźć tu analogię z niewiedzą Ramanujana odnośnie mechanizmów dowodu matematycznego. Krótko mówiąc, wynik sam w sobie wydaje się być epistemologicznie niezależny od metody jego uzyskania.

....................


Komentarz AJ: Kształty, kolory, tekstury – to zupełnie inny świat, tłumaczony „na nasze”. Być może nawet świat w pewnym sensie nawet „żywy”.


Warto też zauważyć, że „intuicja” jest pojęciem notorycznie niejasnym; być może określenie to nie oznacza żadnej konkretnej metody, jest tylko ogólnym terminem, pod którym skrywa się mnogość poszczególnych metod.


Komentarz AJ: Dzisiaj tak zapewne jest. Ale czy tak musi być? Czy nie możemy w niedalekiej już przyszłości pojąć czym jest intuicja? Do tego potrzebna jest praca, praca nie wahająca się dotknąć obrzeży nauki.

................

Szczególnie dziwny może nam się wydać taki na przykład fakt, że Inkowie stosowali prawdopodobnie „mieszany, jakościowo-ilościowy język” matematyczny. Jak pogodzić „jakościowy” charakter liczb z tym, że uzyskiwane przez Inków wyniki wydają się zgadzać z tymi, które uzyskuje się przy pomocy „naszej”, „ilościowej” matematyki? Nie powinno już nas w tym kontekście zaskoczyć, że Ramanujan często powoływał się na jakościowe właściwości liczb; takie, które my określilibyśmy jako numerologiczne.


Komentarz AJ: U wielu wywoła to zapewne uśmieszek politowania. Z politowanie patrzyli pewnie współcześni na deklaracje Krzysztofa Kolumba.

...................

Warto przywołać cytowaną wcześniej wypowiedź Ramanujana:„równanie nie ma dla mnie znaczenia, jeśli nie przedstawia myśli Boga”. Kanigel przytacza też relacje, w których matematyk ten przypisuje specyficzne, mitologiczne cechy poszczególnym liczbom (1 jako Nieskończony Bóg, 7 jako Saptha Rishis, czyli siedmiu świętych mędrców hinduizmu), rozwija własne koncepcje metafizyczne oparte na konceptach i strukturach matematycznych itd.


Komentarz AJ: Autor tego opracowania, Łukasz Lamża, którego nie znam, stara się zachować neutralność i nie wyciągać zbyt daleko idących wniosków. Wiem z własnego doświadczenia, że spory wkład w to, jakie wnioski ośmielamy się wyciągnąć ma środowisko w którym żyjemy i pracujemy. Jest to zazwyczaj oświecony ciemnogród w którym oficjalnie rządzi logika a naprawdę rządzi plotka.

...................

Problem „ilościowe jakościowe” to tylko jeden z aspektów szerokiego zjawiska „innej matematyki”. Pozwolił nam on jednak na uwypuklenie charakterystycznej cechy, która odróżnia „inną matematykę” od „sformalizowanego nonsensu” – bezwzględnej zgodności rezultatów. Ramanujan nie byłby dla nas nawet w połowie tak interesujący, gdyby jego opowieści o boskiej inspiracji i niemal „magiczne” produkowanie kolejnych twierdzeń nie szły w parze z prawdziwością tychże, czyli ze zgodnością „jego” struktur dowodowych z matematyką reprezentowaną przez Hardy’ego. Również sawanci nie byliby sawantami, gdyby ich błyskawiczne obliczenia dawały zupełnie przypadkowe wyniki.


Komentarz AJ: Istnieją więc niekonwencjonalne metody osiągania prawdy. Co wydaje się potwierdzać moją hipotezę, że absolut istnieje, bowiem można do niego się zbliżać skrajnie różnymi drogami.


................

Inna matematyka” nie jest cudem; jest świadectwem faktu, że to, co myślimy o matematyce w oparciu o nasze niezaprzeczalne sukcesy z jej sformułowaniem aksjomatycznym, jest tylko częścią prawdy. W pierwszym przybliżeniu opisane zagadnienia zdają się świadczyć na korzyść „matematycznego platonizmu”, jednak jest równie prawdopodobne, że również i ta kategoria nie najlepiej nadaje się do opisu faktycznego stanu rzeczy.

.................


Komentarz AJ: Otóż to. W „matematycznym platonizmie” coś, jak się wydaje, jest. Tylko co? Tego dziś jeszcze nie wiemy. Ale czy nie warto w tym kierunku pracować?


Na koniec jeszcze raz zachęcam do zapoznania się z całym artykułem Łukasza Lamży Inna matematyka . Artykuł ten w znacznej mierze opiera się na skądinąd również zalecanej książce Roberta Kanigela „The man who knew infinity. A life of the genius Ramanujan”.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Kultura