Zbliżamy się końca=początku naszej podróży. Przebyliśmy wszystkie oznaczone na mapie niebezpieczne strefy. Co nie oznacza, że możemy teraz osłabić naszą uwagę. Wręcz przeciwnie. Niebezpieczeństwo czyha wszędzie, czeka tylko na chwilę, gdy „odpuścimy”.
Został nam problem „czasu niezależnego od stanu”. Co to za zwirz? (Zwirzem będę go nazywał). Otóż zwirz ten nie wyrósł naturalnie, jest wynikiem nieporozumienia genetycznego. Wyjaśnię popularnie na czym to nieporozumienie polegało i dlaczego Michał Heller, jak się wydaje, wziął to stworzenie za dobrą monetę nie zauważywszy tego, że zwirz tylko na zwierza wygląda, ale zwierzem nie jest.
Mamy algebrę R. Ta algebra ma operacje: dodawanie, mnożenie i gwiazdkę. Ma jeszcze jedność I – jedynkę algebry, taką, że mnożenie przez I jest mnożeniem przez jedynkę, czyli nic nie robieniem: IA=A1=A.
Transformacja algebry, poprzesuwanie w niej elementów, która „zachowuje” powyższą strukturę nazywa się „automorfizmem”. Powiedzmy, że mamy automorfizm, oznaczmy go jakimś symbolem, powiedzmy phi. Wtedy „zachowanie struktury” oznacza: phi od sumy jest sumą phi:
phi(A+B) = phi(A)+phi(B)
phi od iloczynu jest iloczynem phi:
phi(AB)=phi(A) phi(B)
phi od jedynki jest jedynką:
phi(I) = I
phi od gwiazdki jest gwiazdką od phi:
phi(A*)=phi(A)*
Proste, nieprawdaż? Innymi słowy phi to operacja symetrii. Mamy np. kwadrat, przekręcamy go względem środka o 90 stopni, w prawo lub w lewo, i mamy znów kwadrat niczym nie rózniacy się od oryginału. Wierzchołki i boki pozamieniały się miejscami, ale nie zmieniło to relacji pomiędzy nimi.
Automorfizmy można „składać”, tzn. wykonywać jeden po drugim i pełna operacja jest znów automorfizmem. To tak jak z kwadratem: obrócimy o 90 stopni, potem np. o 180 stopni, otrzymamy obrót o 270 stopni – też otrzymamy kwadrat nieodróżnialny od wyjściowego. W dodatku do każdego automorfizmu jest automorfizm odwrotny. Możemy obrócić o 90 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara, potem o 90 stopni w kierunku przeciwnym i obie operacje się zniosą – nie ruszy się nic.
Matematycy podsumowują to mówiąc, że automorfizmy tworzą grupę. Grupę automorfizmów algebry R oznaczamy symbolem Aut(R).
Czy istnieje jakaś „maszynka” produkująca automorfizmy? Powiedzmy, że nasza firma dostała zamówienie na dziesięć automorfizmów algebry R, mają być dostarczone do jutra. Klient dobrze płaci. Podobno Japończycy, firma Tomota i Takisaki, mają patent na automorfizmy, ale nasz klient, rodak, woli firmę krajową, jeśli to możliwe, bo transport automorfizmów z Japonii jest dość kosztowny i dochodzi cło. Podjąć się tego zlecenia? Stanąć na głowie i jednak do jutra je przygotować do wysyłki? Szef woła więc głównego inżyniera. Ten owszem, słyszał, ale nigdy automorfizmów nie produkował. Podobno bardzo wymagająca technologia. Ale, przypomina sobie inżynier, pan Józio, kiedy sobie podpił, opowiadał coś, że on to automorfizmy w garażu robi i od czasu do czasu rozdaje kumplom.
Woła więc szef Józia i pyta czy to prawda. Józio najpierw robi miny, ale w końcu, w wyniku patriotycznej mowy szefa i obietnicy wolnego poniedziałku w końcu mówi, że i owszem, że to kwestia „nołhał” (tu inżynier puszcza oko do szafa i kreśli w powietrzu, za plecami Józia „know how”) i że on, Józio, to nołhał ma i gotów jest wyjaśnić, bo to, w samej rzeczy, pestka.
Trzeba, mówi Józio, zacząć od hermita (ma na mysli macierz hermitowską). Bierzemy takiego hermita, trzeba uważać, żeby był stowarzyszuny z R, dodaje Józiom nazwijmy go H, np.
[0 1]
[1 0]
, bierzemy rzeczywistkę t (Józia ma na mysli liczbę rzeczywistą t, np. t = 10) a potem podnosimy e (log(e)=1, wtrąca inżynier) do urojonej potęgi it. No, mówi pan Józio, nie musicie nawet podnosić, bo ja i tak wiem co wyjdzie, wyjdzie
[cos(t) isin(t)]
[isin(t) cos(t)]
Nazwijmy go U(t). Ten U(t) jest wtedy Unitarny, i to dla każdego t.
Wtedy budujemy phit :
phit (A) = U(t)AU(t)*
Ten phit jest automorfizmem, i to dla każdego t! Weźmy dziesięć różnych rzeczywistek, mówi Józio, i mamy dziesięć automorfizmów. Chcecie sto? Żaden problem. Że podobne genetycznie, że biorą się z tego samego hermita? Klient życzy sobie różnorodności? No to za każdym razem weźcie innego hermita!
Firma zamówienie wykonała. Klient był zadowolony, pan Józio jakby też.
Za miesiąc klient prosi o spotkanie osobiste z szefem. Spotykają się, na „terenie neutralnym”, klient rozgląda sie nerwowo wokoło, czy nie ma ukrytej kamery albo jakiegoś buga. Po wstępnych przymiarkach przechodzi do rzeczy. Otóż dowiedział się, że automorfizmy wyprodukowane z hermitów w świecie znawców mają swoją nazwę: nazywają się automorfizmami wewnętrznymi. Te tworzą też grupę, w kołach określa się ją jako Inn(R) lub Int(R). (od „inner" lub "internal” - wewnętrzny) Normalnie handel odbywa się automorfizmami z tej grupy. Ale, mówi nasz klient, rozmawiał z jednym gościem od teorii konspiracyjnych i ten gościo twierdzi, że są jeszcze inne automorfizmy, takie co za cholerę z hermitów się zrobić nie da. Podobno już Hitler na nimi pracował i podobno ma fabrykę pod lodami Antarktydy.
A wojsko podobno czy to już ma, czy się przymierza do konstrukcji tych egzotycznych automorfizmów. Mówi się także, że parę znaleziono w Roswell, po katastrofie UFO, ale były uszkodzone. Czy może pan Józio, pyta nasz klient, po dobrej wypitce i zakąsce, nie chlapnął czegoś na ten temat? Tu szef przypomniał sobie, że w istocie, raz na przyjęciu pan Józio, w pijanym co prawda widzie, mamrotał coś o spotkaniach „czwartego rodzaju”, z kosmitami czy z ummitami, jak on to nazywał i słowo „morfizmy” czy „mumizmy” przy tym w samej rzeczy padło.
Zawołano więc następnego dnia pana Józia, ale ten buzia w ciub i słowa nie można było od niego wydobyć. Trzasł się przy tym i co rusz spoglądał to w lewo, to w prawo a to gdzieś wpoprzek.
I tak by się rzecz rozeszła gdyby nie to, że pewnej soboty, było to chyba w gdzieś w połowie maja, inżynier przypadkiem w księgarni Archidiecezjalnej trafił na książeczkę pod zastanawiającym tytułem „Początek jest wszędzie”. Otworzyło mu sie na rozdziale dziewiątym, gdzie przeczytał, że „Wszystkie zmiany odmierzamy czasem,” co go zastanowiło, bo dotąd był przekonany o tym, że to czas odmierzamy zmianami. Zajrzał więc nasz inżynierek na koniec, do spisu literatury, a tam jak byk: „A. Connes i C. Rovelli, „von Neumann Algebra Automorphisms and Time-Thermodynamics Relation in Generally Covariant Quantum Theories”. Ravioli był lubił, a tu nie tylko ravioli ale i AUTOMORFIZMY? I to w jakimś sekretnym towarzystwie? No i Niemiec się zgadzał: won, to z pewnością Niemiec. Algebra – Antarktyda – też pasuje.
W domu poprosił syna by mu tego Niemca von Ravioli ściągnął z sieci, bo synek się chwalił, że nie ma rzeczy której by nie mógł ściągnąć. W samej rzeczy synalkowi zajęło to trzy minuty. Chwalił się, że ściągnął z witryny samego Kona (bo tak się jakoby ma Connesa wymawiać).
Na drugi dzień, z samego rana, inżynier poleciał z termodynamiczką do szefa.
Ale o tym, co było dalej – następnym razem.
