Nie rusz Andziu tego kwiatka ...

Dziś o tym, co nie znalazło odbicia w pracach księdza profesora Michała Hellera, zostało jakoś przegapione, a co może być ważne, bowiem nie bardzo pasuje do teologicznych założeń przebijających tu i ówdzie na stronach jego książki „Początek jest wszędzie” oraz w innych publikacjach. O tym, że takie teologiczne założenia ograniczają perspektywę naszego Autora mogą świadczyć poniższe cytaty z tej książki:

Pisząc o, jak to nazywa, „spekulacjach” Lindego i Smolina dotyczących teorii z wieloma wszechświatami i z wieloma wybuchami, Michał Heller tak pisze (pogrubienia moje):

„Nie wyklucza to bynajmniej, że tego rodzaju spekulacje mają podłoże filozoficzne i światopoglądowe. Czytając prace Lindego i Smolina (zwłaszcza popularne), trudno ustrzec się wrażenia, iż ważnym motywem ich napisania była chęć neutralizacji filozoficznego lub nawet teologicznego wniosku, jaki często wiąże się z modelem Wielkiego Wybuchu, a mianowicie, że świat miał początek. W scenariuszach proponowanych przez obydwu autorów poszczególne wszechświaty mają swoje początki, swoje narodziny z wszechświata matki, ale zbiór wszystkich wszechświatów jest tworem odwiecznym, ciągle odradzającym się w kolejnych pokoleniach. Wprawdzie poszukiwanie w badaniach kosmologicznych argumentów przemawiających bądź za stworzeniem świata przez Boga, bądź przeciw niemu jest nadużywaniem kosmologii do celów wykraczających poza jej zadania, ale znowu trzeba pamiętać, że niekiedy i takie dociekania stają się motywem wartościowych badań.”

Pisząc o modelu Wielkiego Wybuchu i jego interpretacjach:

„Można także rozważać zamknięty wszechświat Friedmana z punktu widzenia zewnętrznego obserwatora, na przykład z punktu widzenia Demiurga, który ten wszechświat stworzył. Kosmologowie chętnie używają metafory Boga, stwarzającego świat. Ponieważ wielu czytelników bierze te metaforę zbyt dosłownie, wolę posłużyć się Platońskim obrazem Demiurga, boskiego rzemieślnika, który, wpatrzony w świat odwiecznych idei (matematyki!), konstruuje wszechświat. Oczywiście, Demiurg w swojej stwórczej działalności musi w jakiś sposób dotykać osobliwości. Przecież to on właśnie spowodował, że wszechświat rozpoczął swą ewolucję od początkowej osobliwości. Mówiąc Językiem teorii przestrzeni strukturalnych, Demiurg musi posługiwać się funkcjami rozciągniętymi na osobliwości. Ale wówczas, z jego perspektywy, wszystko redukuje się do punktu, cała historia wszechświata – od początkowej do końcowej osobliwości – staje się jedną chwilą. Demiurg, jeżeli zechce, może oczywiście zawęzić funkcje do czasoprzestrzeni (pomijając osobliwości), i wtedy, przyjmując perspektywę obserwatora wewnętrznego, może obserwować, co się dzieje w tym świecie.

Widzimy więc. że model nie jest bezsensowny. Co więcej, daje możliwość bardzo ciekawej interpretacji filozoficznej, zresztą nienowej. Teologowie już dawno twierdzili, że Bóg istnieje poza czasem i "z jego punktu widzenia" cala historia Wszechświata dzieje się "w jednym teraz", a więc w pewnym sensie jest tylko chwilą. Przestrzegam jednak przed zbyt dosłownie rozumianymi teologicznymi interpretacjami zamkniętego modelu Wszechświata, podobnie zresztą jak i wszystkich innych modeli kosmologicznych. Interpretacje takie w najlepszym razie wskazują na niesprzeczność pewnych teologicznych lub filozoficznych koncepcji, ale ich wykorzystywanie do wyciągania wniosków wykraczających "poza len świat" jest zawsze zabiegiem metodologicznie mocno ryzykownym.”

Wyciągnąć możemy z tego wniosek, że Michał Heller z góry niechętnie odnosi się do spekulacji mających wydźwięk teologiczny i filozoficzny przeciwny do tego, który sam obrał. Z drugiej strony jego aprioryczne założenia teologiczne są dla niego inspiracją do prowadzenia dociekań czysto naukowych.

Z jednej strony stanowisko takie, stwierdzone otwarcie, nie ma w sobie niczego złego. Z drugiej jednak strony aprioryczne założenia natury teologicznej są zawsze obiektywną przeszkodą, mniejszej lub większej wagi, przy dochodzeniu do Prawdy, jaką by się nie miała ona okazać.

Być może na skutek obranych przez siebie apriorycznych założeń Michał Heller nie zauważył, że w teoriach geometrii nieprzemiennej pojawia się, z konieczności matematycznej, „drugi świat”, świat w którym „czas płynie odwrotnie do naszego.” I o tym będzie poniżej, na elementarnym poziomie, kiedy wszystko możemy prześledzić i policzyć na palcach wykorzystując narzędzia, które już poznaliśmy w tym cyklu.

Potrzebna nam będzie mała subtelność. Bowiem jeden i ten sam obiekt będzie pełnił różne role. Aby te role rozróżnić potrzebne nam będą NAZWY. (Tak, tak, na początku było Słowo!) Rozważaliśmy algebrę macierzy Mat(2,C) o dwóch wierszach i dwóch kolumnach. W niej zdefiniowaliśmy parę pojęć. W szczególności wprowadziliśmy „iloczyn skalarny” (A,B) dwóch macierzy:

(A,B) = Tr(A^*B)

Czyli: mnożymy macierze A* i B, według reguły mnożenia macierzy, bierzemy macierz C=A^*B i sumujemy elementy na diagonali.

Np. jeśli A jest macierzą

[0 1]

[1 3]

zaś B macierzą

[1 0]

[0 -1]

to C=A^*B jest macierzą (zauważmy, że w naszym przykładzie A*=A)

[0 -1]

[1 -3]

skąd (A,B) = 0+(-3) = -3

Naszą algebrę macierzy z tak zdefiniowanym iloczynem skalarnym i będziemy nazywać „przestrzenią Hilberta” a same macierze będziemy nazywać „wektorami” w tej przestrzeni.

Macierze A,B w powyższym przykładzie to „wektory” zaś liczba -3 to „iloczyn skalarny tych wektorów”.

Pisałem jednak o tym, że macierz można traktować także jako „operator”. Ten operuje na wektorach i transformuje te wektory w inne wektory. Przy tym macierz operator może operować na macierzy wektorze z lewej lub z prawej strony. Żeby móc odróżnić macierze w roli operatorów od macierz w roli operatorów, macierze-wektory będę oznaczał z grecka: psi, xi, omega, Omega itd. Weźmy więc macierz-wektor Psi. Macierz A może operować na Psi z lewej strony. Nazwijmy tą operację L(A). Co robi L(A)? Bierze macierz-wektor Psi i transformuje ją w nowy macierz wektor zapisywany jako L(A)Psi i zdefiniowany jako

L(A) Psi = A Psi

tzn mnoży Psi przez A az lewej strony. Zbiór tych wszystkich L(A) jest algebrą, ponieważ operacje można wykonywać jedne po drugich. Możemy na przykład zaoperować na Psi macierzą B, z lewej strony, otrzymując z Psi wektor B psi, a potem na tym wektorze B psi zaoperować macierzą A, też z lewej strony, otrzymując wektor A B Psi. Co wychodzi na to samo, jakby wziąć najpierw iloczyn macierzy C=AB i zaoperować na Psi macierzą C.

Innymi słowy mamy

L(A)L(B) = L(AB)

Podobnie łatwo wynika, że L(A+B)=L(A)+L(B), gdzie L(A)+L(B) jest zdefiniowane przez

(L(A)+L(B)) Psi = L(A) Psi + L(B) Psi

Algebrę tych „lewych” operacji oznaczymy symbolem R (od „ring” czyli „pierścień”) - takiego oznaczenia używa zresztą Michał Heller w swoich pracach. (Uwaga: za chwile pojawi się literka R w kontekście R(A), literka R w kontekście R(A) będzie miała zupełnie inny sens!) Ponieważ przy przejściu od macierzy A do operacji L(A) nic nie tracimy (co można sprawdzić, nie będę się w to jednak wdawał), matematyk powie, że algebra R jest „izomorficzna” z wyjściową algebrą Mat(2,C) – to są te same macierze, tyle że w „aktywnej” roli. Macierze-wektory Psi, to te same macierze tyle, że w roli pasywnej.

Bystre i właściwie wychowywane bezstresowe dziecko powinno w tym miejscu zapytać: „tato, a dlaczego z LEWEJ a nie z PRAWEJ?” No właśnie, dlaczego nie z prawej, zastanawia się tato ....

Macierz A może też operować na wektorze-macierzy Psi także z prawej strony. Nazwijmy tą operację R(A) (od angielskiego „right” - prawy):

R(A) Psi = Psi R

Czemu nie? Podziałajmy, tak jak to było poprzednio, na Psi najpierw macierzą B z prawej strony, otrzymamy Psi B. Podziałajmy na wynik macierzą A, też z prawej strony. Otrzymamy

Psi B A.

Co jest tym samy co zaoperowanie na Psi iloczynem BA. Otrzymujemy więc:

R(A)R(B) = R(BA)

W porównaniu z formuła dla L zmieniła się kolejność! Nic nam to jednak nie przeszkadza. Zbiór operacji z prawej strony jest też algebrą. Wypada więc jej nadać nazwę. Miast jednak śpieszyć się z nadawaniem nowej nazwy zastanówmy się najpierw nad tym czy rzeczywiście wymyślanie nowej nazwy jest potrzebne. Zbadajmy co się stanie, gdy na macierz wektor Psi podziałamy najpierw A z lewej strony, potem zaś podziałamy B z prawej strony. No to działamy: najpierw A operuje na Psi z lewj i transformuje Psi w A Psi, potem na wyniku operuje B z prawej strony i transformuje A Psi

w A Psi B. A co, jeśli najpierw podziałamy na Psi B z prawej? Otrzymamy Psi B. Następnie na wyniku operujemy A z lewej – dostaniemy A Psi B. To samo co przedtem. Wynika to z łączności mnożenia:

(A Psi)B = A (Psi B)

Możemy to zapisać jako

L(A)R(B) = R(B)L(A)

Innymi słowy, operacje prawostronne są przemienne z operacjami lewostronnymi. Nietrudno udowodnić, że każda operacja na wektorach macierzach przemienna ze wszystkimi operacjami z naszej algebry R jest pewną operacją prawostronną. Zbiór operacji przemiennych ze wszystkimi aperacjami jakiejś algebry nazywa się jej komutantem. Dla komutanta algebry R matematycy mają oznaczenie R' („prim”). Nie musimy więc wymyślać nowego symbolu dla algebry operacji prawostronnych. Jest to po prostu R'.

Algebra R' jest też „izomorficzna” z naszą wyjściową algebrą – niczego nie tracimy, nic się nie „skleja” przy przejściu od macierzy A do operacji R(A). (matematyk powie „antyizomorficzna”, bo zmienia się kolejność:

R(A)R(B)=R(BA)).

Michał Heller wspomina także o R', ale tylko „wspomina”, bo R' pojawia się automatycznie przy stosowaniu maszynki Tomity-Takesakiego. Dlaczego jednak tylko wspomnieć a nie wyciągnąć wszystkich możliwych konsekwencji matematycznych i filozoficznych? No dlaczego?

Jeśli na początku Bóg stworzył algebrę R, to, chcąc nie chcąc stworzył też jej antyizomorfizmy obraz, algebrę R', w której wszystko jest jak w R, tyle, że na odwrót! Co więcej, działania w R' są niezależne od działań w R – co jest uwidaczniane w tym, że operacje L(A) i R(B) są przemienne, komutują. Działanie jednej niczym nie zaburza działanie drugiej.

A jednak jest związek pomiędzy tymi dwoma światami. Związek ten zadawany jest operatorem noszącym tradycyjnie nazwę J. Ten operator, owszem, pojawia się w pracach grupy Hellera, ale nie gra on tam żadnej roli. Można go zobaczyć na tym obrazku wziętym z pracy Hellera i Sasina o „Wyłonieniu się czasu”:

W dyskutowanym przez nas kontekście operator ten jest niezwykle prosty. Nie jest to operacja ani z algebry R ani z jej bliżniaka-komutanta, algebry R'. Na macierzach wektorach działa tak:

J Psi = Psi*

Zamienia macierz-wektor na macierz hermitowsko sprzężoną. W szczególności zamienia urojone i na -i. Ponieważ wzięcie sprężenia dwukrotnie jest tym samym co nie wzięcie żadnego sprzężenia, mamy

J² = I

Operator J jest więc równy swemu odwrotnemu: J=J^-1! A teraz porachujmy czemu jest równe

JL(A) J^-1

Podziałajmy najpierw J^-1(zatem J) na wektor Psi. Otrzymamy Psi*. Podziałajmy na to L(A). Otrzymamy A Psi*. Podziałajmy na to J-tem, pamiętając o tym, że sprzężenie hermitowskie odwraca kolejność: (AB)* = B* A*. Otrzymamy

(A Psi*)* = Psi** A* = Psi A* = R(A*) Psi.

Krótko:

JL(A)J^-1= R(A*)

L(A) jest z algebry R, R(A*) jest algebry R'. Operator J, wiąże więc z każdym elementem algebry R element z brata bliźniaka, z R'. Świat R' jest więc odbiciem świata R', a za lustro służy właśnie J. Jakie konsekwencje filozoficzno teologiczne można by z tego wyciągnąć?!

Ale to nie wszystko.

Widzieliśmy wczoraj, że grupa Hellera wydaje się przechodzić od pierwotnej koncepcji „czasu niezależnego od stanu”, koncepcji która nie wypaliła, do mniej ambitnej koncepcji czasu jednak zależnego od stanu. Innymi słowy, jak o tym wspominałem, Bóg nie tylko stworzył algebrę R, ale także chuchnął był na nią i wybrał pewien stan tej algebry, wyróżnił pewną macierz-wektor i nadał jej nazwę. Nazwijmy ten wektor Omega – tak się to często literaturze fachowej robi. Będziemy przy tym zakładać, że ten wybrany wektor Omaga nie jest taki sobie dowolny, lecz, że reprezentuje stan „wierny”, tak by mogła zadziałać maszynka Tomity-Takesakiego, jak to chce Heller. Oznacza to, że macierz Omega jest odwracalna, ma odwrotną Omega^-1. Co robi nasz operator J z tym stanem Omega? Dyskutując „stany” mówiliśmy o tym, że macierz reprezentująca stan na algebrze musi być macierzą dodatnio określoną, w szczególności macierzą hermitowską. Zatem Omega*=Omega.

Zatem

J Omega = Omega.

Wektor Omega jest „niewzruszony”, jakby stał pośrodku i ponad parą światów bliźniaków.

Ale to nie wszystko. Przyjrzyjmy się biegowi czasu, ale nawet nie tego „pseudo-czasu”, dyskutowanego przez Connes'a, Rovelliego i grupę Hellera, lecz tego czasu używanego przez fizyków, z podręczników mechaniki kwantowej (choć z pseudo-czasem wniosek byłby identyczny)

Normalnie, aby opisać bieg czasu fizyk kwantowy startuje od „operatora energii”, nazywa go Hamiltonianem i zazwyczaj oznacza symbolem H. W naszym przypadku H to winna być jakaś macierz hermitowska, po to by jej wartości własne, zwykle interpretowane jak „energie możliwe do przyjęcia przez układ”, były liczbami rzeczywistymi. Wtedy, zgodnie ze zwykłymi postulatami mechaniki kwantowej, w tzw. obrazie Heisenberga, wielkości fizyczne reprezentowane prze macierze A ewoluują w czasie zgodnie z równaniem:

A(t) = e^-iHt A e^iHt.

Nie będę tego tu wyprowadzał, bo, choc to łatwe, to zanudziłbym Was, ale z faktu, że J zamienia urojone i na -i, wynika, że jeśli w algebrze R czas płynie „do przodu” to w algebrze R' czas płynie „do tyłu”. Jest także alternatywna interpretacja, wynikająca z faktu, że we wzorze powyższym mamy iloczyn itH. To się zamienia, na skutek działania J na -itH. Może się to odbyć albo na skutek zmiany kierunku czasu, gdy t przechodzi w -t, albo też na skutek zreinterpretowania H, a H to operator „energii”, zatem na skutek zmiany znaku „energii”. Zmiana znaku energii zwykle jest interpretowana jako przejście od materii do anty-materii. Jeśli zatem Bóg stworzył algebrę R i opisywany przez nią Wszechświat, to stworzył też algebrę R' – anty-Wszechświat.

Jeśli te dwa wszechświaty się kiedyś zderzą, to ręka-noga-mózg-na-ścianie, nastąpi anihilacja!

I tak to jest. Wchodząc na drogę wytrasowaną przez Tomitę i Takesakiego możemy się, filozoficznie i teologicznie, nieźle pokłuć. Róża jest piękna, ale ma kolce!