Zabawna dyskusja odbyła się parę miesięcy temu na forum.demokraci.pl . Przytoczę jej fragment, bo posłuży nam za przygotowanie do kolejnego etapu podróży do „początku, który jest wszędzie”.
Grażyna Szelc:
Re: Dramat języka. Uwagi o mowie publicznej IV RP
Nie wydaje się Panu, że coraz mniej wymagamy od ludzi będących w Sejmie, nie nazwę ich politykami, bo to często komplement, wyroki, prymitywny język, cieszymy się, że ktoś kiedyś coś rozsądnego powiedział, nasze standardy leca na łeb, na szyję. Przed chwilą wiceminister zdrowia powiedział, że coś było napisane.....pipetem, ręce i dodatki opadają, nie starcza im patriotyzmu, aby nauczyć się poprawnie myśli w słowa ubierać.
Roman Werpachowski:
Poprawnie powiedział. Pipet to taki typ pisma odręcznego.
Grażyna Szelc:
To ciekawe, dyskusja dotyczyła środków antykoncepcyjnych i chodziło o to, że ważne uwagi na ulotkach informujących o szkodliwym działaniu leków są pisane małym drukiem czyli p e t i t e m , a nie żadnym rodzajem pisma ręcznego, na jakich ulotkach pisuje się pismem ręcznym.
Roman Werpachowski
Ja widziałem takie ulotki pisane pismem odręcznym. Widać o te mu chodziło.
Grażyna Szelc
żeby skończyć dyskusję, o rodzajach druku, bo o to chodzi, proszę nie tworzyć dziwolągów językowych [jestem z wykształcenia lingwistą i językoznawcą] drukuje się petitem, a pipetą to może Pan wkropić dziecku krople do nosa jak [czego nie życzę] będzie miało katar.
Petitem, czyli małą czcionką, pisane są nie tylko ważne uwagi o szkodliwym działaniu leków. Dostajemy czasem ulotki typu: „Wygrałeś!” lub „Wczasy za darmo”, lub „Gwarantujemy ...” i dopiero po przeczytaniu tego, co jest napisane małą czcionką, dowiadujemy się, że niczego nie wygraliśmy, nic nie jest za darmo, często chodzi o to, by wręcz wyciągnąć od nas „więcej”, że żadnej gwarancji tak naprawdę nie mamy.
Mój dzisiejszy wpis poświęcony jest właśnie takim „ważnym uwagom”, ważnym z powodów, powiedziałbym „formalnych”. Od ponad miesiąca zajmuję się uprzystępnianiem idei naszego laureata nagrody Templetona. Od czasu do czasu piszę coś o błędach, to i owo krytykuję. Jednocześnie popularyzuję, ale aby móc popularyzować - z konieczności upraszczam. Mogę za te moje uproszczenia zostać sam skrytykowany. Rzecz idzie bowiem o czasie i o przestrzeni, a ja tu o Jasiu i Małgosi! Watykan mógłby mieć do mnie pretensje, że całą tą poważną rzecz trywializuję. Więc aby uprzedzić tego rodzaje pretensje daję dziś i diabłu ogarek. A diabeł ukrywa się w detalach, detalach którym nie poświęciłem dotąd wystarczającej uwagi.
W czym rzecz? Otóż na naszym prostym przykładzie grupoidu Jasia i Małgosi nie można przedstawić wszystkich subtelności i możliwej głębi formalizmu matematycznego „geometrii nieprzemiennej”. My rozważaliśmy prostą, czterowymiarową algebrę macierzy, podczas gdy w fizyce mamy do czynienia z algebrami żyjącymi w nieskończenie wielu wymiarach. Pewne własności są wspólne dla skończonej i dla nieskończonej liczby wymiarów. Ale w nieskończonej liczbie wymiarów mogą ujawnić się nowe własności. Te nowe własności mogą mieć nietrywialną i nieoczekiwana interpretację fizyczną. Takiej możliwości nie można wykluczyć. Mogą, choć nie muszą. Ciężar dowodu, że taka głębia się gdzieś ukrywa, spoczywa na dowodzącym. Dowodu takiego dotąd nie widziałem, choc widziałem wiele usiłowań i pseudo-dowodów. Nie można jednak, moim zdaniem, rozwijać teorii filozoficzno-teologicznej w oparciu jedynie o szkielety modeli matematycznych, gdzie niczego nie da się udowodnić. Można spekulować, nie należy niczego dedukować, zwłaszcza gdy dedukcja dotyczy rzeczy ostatecznych, takich jak początek wszystkiego.
Moja dotychczasowa analiza wskazała na, moim zdaniem, ewidentne dowody niedokładnego zrozumienia przez autorów „Wyłonienia się czasu” [1] matematyki, którą się posługują. Takich przykładów będzie jeszcze więcej. Nie chodzi o to, że mam do kogoś pretensję za niedostateczne zrozumienie. Czego nie rozumieliśmy wczoraj możemy wszak rozumieć dzisiaj lub zrozumieć jutro. W dodatku pewną okolicznością łagodzącą jest to, że dla kogoś o niewystarczająco głębokim wykształceniu matematycznym dziedzina teorii algebr operatorowych jest naprawdę trudna i obfituje w pułapki. Z drugiej strony przy braku doświadczenia można czasem przegapić jakąś ważną rzecz, a przegapiwszy stracić z pola widzenia ważne „okno filozoficzne”.
O takim jednym oknie, jakby nie zauważonym dotąd przez Michała Hellera, chcę tutaj napisać. Będzie to jednocześnie „drobny druk”, dotyczył będzie bowiem „subtelności” ważnych, choć wtórnych. Będzie to więc cos w rodzaju „przypisu” do treści głównej. Jak wiadomo, w niektórych książkach i publikacjach przypisy bywają ciekawsze od tekstu głównego. Może i tak jest w tym przypadku? Nie wiem.
Punktem wyjścia wszelkich rozważań tzw. geometrii nieprzemiennej jest pewna algebra. Na dzisiejszy użytek opatrzymy ją symbolem R. Dlaczego akurat R? Bo uogólnieniem algebry jest „Ring” - czyli, po polsku, pierścień. Pierścieniami, takimi jak te używane w geometrii nieprzemiennej zajmował się istny genius matematyczny John von Neumann. I tutaj zrobię mała dygresję i przedstawię krótki fragment z bardzo ciekawej biografii von Neumanna autorem której autorem jest Norman Macrae. Rzecz dotyczy końcowego okresu życia, kiedy to von Neumann przebywał w szpitalu z diagnozą nieuleczalnego raka kości, niewykluczone, że spowodowanego jego obecnością jako eksperta na atolu Bikini w czasie próbnych wybuchów jądrowych. W szpitalu von Neumann był pilnie strzeżony. Chodziło o to, by w swych halucynacjach nie wyjawił jakichś tajemnic wojskowych. Wykrzykiwał w nocy w swoim ojczystym węgierskim języku i przerażeni strzegący go żołnierze nie wiedzieli, czy wykrzykuje coś głębokiego czy jakieś trywialności. Von Neumann, który tak dobrze wiedział jak żyć, nie wiedział jak umierać. Prawdopodobnie z obawy przed śmiercią nawrócił się wtedy na Katolicyzm, choć i wcześniej w rozmowach ze swoją matką miał mówić: „Bóg prawdopodobnie istnieje. Wiele rzeczy łatwiej wyjaśnić zakładając, że Bóg jest niż zakładając przeciwnie.” Przyjmował punkt widzenia Pascala: tak długo jak długo istnieje możliwość wiecznego potępienia dla niewierzących, jest rzeczą logiczniejszą być wierzącym u końca życia” (To ostanie jest trudne do przetłumaczenia, może być rozumiane dwojako, bowiem „in the end” można interpretować zarówno jako „u końca życia” jak i ogólne „w końcu”. )
Na fotografii, od lewej do prawej, Stanisław Ulam, Richard Feynman i John von Neumann – w Los Alamos, ok. r. 1940.
Tyle dygresji. Wracamy do algebry R. Jako przykład takiej algebry wzięliśmy prymitywną algebrę macierzy o dwóch wierszach i dwóch kolumnach. Tymczasem fizycy i matematycy na codzień mają do czynienia z algebrami macierz o nieskończenie wielu wierszach i kolumnach. A kiedy piszę „nieskończenie wielu”, to mam na myśli również nieskończoności nieprzeliczalne, nie dające się wyliczyć nawet nieskończonym ciągiem. Już w mechanice kwantowej jednego jedynego elektronu mamy do czynienia z algebrą utworzoną poprzez mnożenie przez siebie, w różnych kolejnościach, nieskończonych macierzy reprezentujących pęd i położenia. Heisenberg operował właśnie na takich macierzach, gdy odkrywał dziś słynną Zasadę Nieoznaczoności. Ta algebra, z mechaniki kwantowej jednej czy kilku cząstek jest jeszcze znośna. Znośna do tego stopnia, że uczy się jej na studiach fizyków i chemików. Gorzej gdy zamiast budować teorię kwantową cząstki czy skończonego zbioru cząstek, przechodzimy do teorii kwantowej pola. Gdy chcemy „skwantować” np. elektromagnetyzm, zrozumieć kwantową naturę światła. Pojawiają się wtedy algebry do dziś nie zgryzione. Zmieniając to i owo w prawach Przyrody, uproszczając, otrzymujemy algebry na pól zgryźliwe, ale bardzo dziwne. Matematyka, zapoczątkowana właśnie przez von Neumanna, dopiero wypracowuje metody obchodzenia się z takimi tworami. Ziemia nieznana z tu i ówdzie przetartymi szlakami. To jest właśnie pole działania tej „poważnej” geometrii nieprzemiennej. A czy kiedyś na coś się to w fizyce przyda? Nie można dziś tego z pewnością stwierdzić.
W umyśle filozofa-teologa o zacięciu algebraicznym jest, jak sądzę, jakis taki obraz: „Na początku Bóg stworzył algebrę. A potem to już poszło z górki.” Są z tym punktem wyjścia wszak pewne problemy. Algebra to twór wielce jednorodny. Jest na niej wiele stanów, wiele w niej elementów, jedne nieodróżnialne pod względem własności od drugich. A filozof i teolog szuka jedyności. Nie znosi przypadku. Są tu dwa wyjścia:
a) Na początku Bóg stworzył nie tylko algebrę, ale jeszcze coś. Co? No, może jakis „operator Fredholma”, cokolwiek by to miało znaczyć. Innymi słowy: stworzył algebrę i „tchnął w nią ducha”.
b) Nawet jeśli algebra R, ta która Bóg stworzył na początku, jest wielce jednorodna i nie gwarantuje jedyności i unikalności naszego Świata, to mogą być twory matematyczne wynikające jednoznacznie z tej algebry. To te właśnie twory mają leżeć u podstaw naszej unikalnej rzeczywistości.
Michał Heller sięga zarówno po a) jak i po b). A jaki jest tego wynik? Patrząc z mojego podwórka: nie udało mu się powiązać a) z b), choć usiłował. Co więcej, próbując b) powtórzył jedynie idee Connes'a i Rovelliego [2] i to powtórzył bez pełnego zrozumienia matematycznych zawiłości i bez dostatecznie głębokiej analizy fizycznej nadinterpretacji. O jednym z aspektów tej nadinterpretacji wspomniałem dwa dni temu a równie poważnym problemie wynikającym z trudności w zrozumieniu zawiłości matematycznych będę jeszcze pisał.
Droga matematyzującego filozofa-teologa nie jest więc usłana różami. A jeśli nawet znajdzie się na niej róża, to róża, jak wiadomo, ma kolce. O jednym z takich kolców, który może ukłuć, poniżej.
Przypuśćmy więc, że na początku Bóg stworzył algebrę R. Ta algebra ma niezliczenie wiele „stanów” f. (Normalnie oznacza się taki stan grecką literką omega). Mógł Bóg na początku też wybrać stan. Ale filozof nie chce Bogu przypisywać zbyt wiele. Bóg, w mniemaniu naszego filozofa, stworzył tylko absolutne minimum wystarczające dla zaistnienie świata. Inaczej naszego filozofa można by zasypać mnóstwem pytań na które z trudem tylko potrafiłby znaleźć odpowiedź. Zatem bierzemy taki jeden przykładowy stan f, niezależnie od tego czy Bóg go wyróżnił (nadając mu np. imię Omega) czy nie. Patrzymy co się wtedy dzieje. Patrzymy co matematyka może z takiego jednego stanu stworzyć, co się da z niego zbudować. Trójka matematyków, (nb. , jak się pewnie nietrudno domyślić, wszyscy trzej żydowskiego pochodzenia), Gelfand, Naimark i Segal, rozpracowała zmyślną konstrukcję wychodząc właśnie tylko od jednego stanu na algebrze. Od ich nazwisk konstrukcja ta nosi nazwę „konstrukcji GNS”. Pierwszym etapem tej konstrukcji jest budowa „lewostronnego ideału”. Kiedy ideał taki jest utworzony ze stanu f czy omega, nadaje mu się często nazwę N ze znaczkiem, u dołu, omega. Ze względów typograficznych bedę go tutaj nazywał po prostu N. Co to jest to N? N to zbiór tych elementów A algebry R dla których f(A*A)=0. To jest podzbiór samej algebry. Elementy tego lewego ideału można do siebie dodawać, mnożyć przez liczby, ale mnożenie różnych elementów N jeden przez drugi nie jest, w żadnym ciekawym i nietrywialnym przypadku, określone. Heller i Sasin, a także sam Heller w swoich publikacjach ten fakt przeoczyli. W „Początek jest wszędzie” [3] Michał Heller pisał:
„Sklejmy teraz ze sobą pewne elementy algebry A. Niestety, nie możemy wdawać się tu w szczegóły i opisywać, które konkretnie elementy algebry A skleimy ze sobą. To, co w matematyce da się przedstawić w kilku stosunkowo prostych wzorach, w języku potocznym zajęłoby wiele stron, zaciemniając istotę zagadnienia. Poprzestańmy zatem na nazwie i sklejanie, o którym mowa, określmy mianem pierwszego sklejania w algebrze A. W jego wyniku otrzymamy inną, "mniej liczną" algebrę; oznaczmy ją symbolem A1”
Tak nie jest. Jedynie sklejanie jakie Heller i Sasin, w pracy cytowanej w książce, rozważali, to „sklejenie” dzieleniem przez lewostronny ideał N. To sklejanie prowadzi do przestrzeni i do „reprezentacji algebry na tej przestrzeni”. To zaś czy reprezentacja ta jest wierna czy coś „skleja” jest zupełnie innym problemem. Może być i tak i tak. Heller i Sasin, cytując GNS konstrukcję wziętą z matematycznych monografii biorą tylko słówko „ideał” a pomijają „lewostronny”. Nie mam żadnego ale to absolutnie żadnego wytłumaczenia dla pominięcia tego niezmiernie ważnego matematycznie faktu. Niektóre z późniejszych spekulacji filozoficznych mogą z tego matematycznego niezrozumienia wynikać.
Dokumentacja:
Oto odpowiedni fragment z publikacji Hellera i Sassina [1] w Physical Review Letters:
Proszę zwrócić uwagę na dolną czerwoną ramkę. Są w tej ramce dwa błędy
A teraz odpowiednie twierdzenie z monografii matematycznej o algebrach operatorowych Blackadara [5]:
Te dwa błędy w Physical review Letters to
a) napisanie „aa*” zamiast „a*a” jak u Blackadara i w każdej innej monografii.
b) napisanie „ideał” zamiast „ideał lewostronny”.
Różnica jest zasadnicza. Dyskutujemy algebry nieprzemienne. W algebrze nieprzemiennej aa* to nie jest to samo co a*a! To, co Heller i Sasin zdefiniowali to, w istocie, ideał prawostronny. Z ideałem prawostronnym też można pracować. Jak wiadomo, w jednych krajach jeździ się lewą stroną drogi, w innych prawą – kwestia umowy. Kiedy jednak ludzie zaczynają naraz jeździć lewą i prawą stroną – wynika chaos. W całej reszcie pracy Heller i Sasin trzymają się konwencji lewostronnej. Wszystko co dalej napisali nie miałoby sensu przy ich definicji N. Dlatego winę możemy tu zwalić raczej na chochlik, niedopatrzenie. Pozostaje jednak fakt, że to niedopatrzenie przeszło do publikacji w poważnym ponoć czasopiśmie fachowym. Wniosek: praca nie przeszła przez żadnego rozumiejącego o co chodzi i uważnego recenzenta. Została raczej zastosowana, z jakichś tam powodów, taryfa ulgowa.
Błąd b) jest innego rodzaju, bo jest źródłem późniejszego błędnego wniosku natury filozoficznej. Heller i Sasin piszą mianowicie:
Jest to ewidentne nieporozumienie. Aby można było zdefiniować „zależny od stanu bieg czasu” (pomijając już fakt, że nie jest to bieg czasu) niczego nie musimy w algebrze sklejać. A nawet jak skleimy, w tym czy w innym sensie, to „zależny od stanu bieg czasu” możemy mieć i możemy go nie mieć. Przykład rozważaliśmy w szczegółach tutaj. Nasza algebra była algebrą grupoidu Jasia i Małgosi. Każdy stan wierny (odwracalne F) definiuje „zależny od F bieg czasu” - przy czym nic się nie skleja. Nie mogę sobie wyobrazić żadnego innego innego źródła tego nieporozumienia prócz pominięcia słowy „lewy” przy „ideał”.
Uwaga: W pracy Hellera i Sasina jest więcej błędów. Np. Zdanie w Theorem 1, zaczynające się od „There exists the unique state ...” w ogóle nie ma sensu. Nie jest jednak moim celem recenzowanie już opublikowanej w „renomowanym” czasopiśmie pracy. Dla zainteresowanych, moją wersję przeformułowanego Twierdzenia 1, tak by coś mówiło (a mówi o elementarnych książkowych faktach), w formacie pdf, zamieściłem tutaj.
Nie jest wykluczone, że w międzyczasie, a minęło już trochę lat, Michał Heller zrozumiał te błędy i poszedł dalej. W jednej z ostatnich prac [4] p.t. „Conceptual Unification of Gravity and Quanta”, z Sasinem i Pysiakiem, z lutego 2007, autorzy dochodzą bowiem do wniosku, że ich program „czasu niezależnego od stanu” zawisł na uschniętej gałęzi, że „czas niezależny od stanu” w ich grupoidalnym modelu po prostu „stoi w miejscu” dokładnie tak jak i będzie stał w miejscu w modelu Jasia i Małgosi. Cytuję w oryginale:
„This means that the state independent outer evolution is trivial: there is a state independent time but it does not flow (or nothing happens in it).”
Porównajmy to ze sformułowanie z popularnej książki Michała Hellera [3] z r. 2002:
„Po wykonaniu drugiego sklejania znacznie poprawiają się czasowe własności naszej algebry. Uporządkowanie ciągów jej elementów przestaje zależeć od stanu. Można więc już mówić o czasie wolnym od stanu, co w konsekwencji prowadzi do jednej (niezależnej ód stanu) dynamiki. Fizyka Wszechświata coraz bardziej przypomina fizykę, którą odkrywamy w otaczającym nas, przemiennym świecie.”
No cóż, nie wyszło. Program się zawalił. Nadzieje i spekulacje okazały się płonne. Zdarza się.
Gdzie zatem szukać ratunku? Próbują (Heller, Pysiak i Sasin) wrócić jednak do „czasu zależnego od stanu”, do termodynamiki. Wręcz do nadania ważnej roli „przypadkowi” - brrrr. Piszą:
„Therefore, on the fundamental level, dynamics, probability and at least some thermodynamic properties are encoded in the same mathematical structure.”
Otwierają tym samym puszkę Pandory. Jeśli bowiem dopuścimy prawdopodobieństwo (probability), zatem przypadek na poziomie fundamentalnym, to czemu nie przy powstaniu Wszechświata i czemu nie w ewolucji? Einstein się upierał, że Bóg nie gra w kości. Nasi zdesperowani autorzy zdają się dopuszczać, że jednak może gra? Ciekaw jestem czy tą drogą pójdą....
I gdzie jeszcze może być ratunek? Ostatnie zdanie pracy Hellera, Pysiaka i Sasina brzmi:
„The obvious next step to do is the elaboration of quantum field theoretical aspects of the model (spinor bundles, Dirac's operator, etc.) together with the gauge theoretic approach. Some preliminary work in this direction is under way.”
Spinory, operator Diraca? To znów moja działka. Jeszcze rok, dwa a dojdą do ulubionych przez mnie twistorów. Szczęść im Panie Boże. Może będę im mógł nawet w czymś pomóc?
Rozpisałem się. A przecież miałem napisać o kolcu róży! Co to za kolec, którego autor „Początku, który jest wszędzie” dotąd nie dostrzegł? Przedstawię tu tylko główną ideę, bez wdawania się w szczegóły.
..........
Ooch, ale jak na jeden raz to tekst trochę przydługi. Zostawię więc kolec z dualnym, drugim światem, na jutro.
Literatura:
[1] Michael Heller, Wiesław Sasin, Emergence of Time, Phys. Rev. Lett. A 250 (1998), pp. 48-54. Niewiele różniąca się od opublikowanej wersja sieciowa dostępna z arxiv.org tutaj.
[2] A Connes and C. Rovelli, Von Neumann algebra automorphisms and time-thermodynamics relation in generally covariant quantum
theories, Class. Quantum Grav. 11 (1994), pp. 2899-2917. Wersja sieciowa tutaj.
[3] Michał Heller, Początek jest wszędzie. Nowa hipoteza pochodzenia Wszechświata, Prószyński i S-ka, 2002
[4] M. Heller, L. Pysiak, W. Sasin, Conceptual Unification of Gravity and Quanta, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0607002
[5] B. Blackadar, Operator Algebras, Theory of C* algebras and von Neumann Algebras, Springer 2006
