"Bodajze Hertz pisał: Trudno oprzeć się wrażeniu, że wzory matematyczne posiadają niezależny byt, inteligencję sobie właściwą, że są mądrzejsze niż my, mądrzejsze nawet niż ich odkrywcy, że wydobywamy z nich więcej, niż one początkowo zawierały”. Czy rzeczywiście jest tak, jak to pisał wczoraj w swoim komentarzu jeden z Czytelników? Na algebrę macierzy Mat(2,C) można patrzeć w dwojaki sposób. Z jednej strony są to twory które można mnożyć przez siebie by otrzymywać inne twory. Patrząc na iloczyn AB traktujemy tutaj A i B na równi. Z drugiej strony można patrzeć na iloczyn AB tak: A operuje na B z lewej strony i transformuje B w AB. Traktujemy więc A jako "operator" zaś B jako "wektor" na którym operator A "operuje". Wymaga to pewnej elastyczności umysłu. Szczęśliwie nasze umysły są elastyczne (jedne mniej, inne bardziej). Kathrinna pisała niedawno o percepcji. Czytając o percepcji, o "Gestalt", przypomniały mi się "Random Dots Stereograms (RDS)". W takim stereogramie mamy dwa obrazki składające się z na pozór przypadkowo rozłożonych, niebieskich i czerwonych kropek. Patrzymy na tę parę obrazków przez okulary, jedno szkło niebieskie, drugie czerwone. Patrzymy, patrzymy, nic nie widzimy poza chaosem, aż nagle, w pewnej chwili, KLIK, coś w mózgu zaskakuje i "widzimy" przestrzenny, trójwymiarowy obraz. Dwa chaotyczne obrazki zlały się w jeden - zrobił to nasz mózg, rozpoznał znany kształt, wypełnił dziury.... To tak, jakby dwie połówki zamka błyskawicznego wzajemnie się rozpoznały i "zzzip" - zamek się zapiął. Nie zapiąłby się, gdybyśmy przedtem nie mieli zakodowanego gdzieś w mózgu wzorca, czegoś, co możemy "rozpoznać". Ciekawe ile takich wzorców, gdzieś w nas zakodowanych, jest wrodzonych a ile nabytych, często bez udziału naszej świadomości. Czytamy prasę, oglądamy telewizję i filmy, chodzimy do kościoła, obcujemy z bliźnimi - wszystko to tworzy "wzorce" w naszym mózgu, a może i nie tylko w mózgu, bo może i część przechodzi do genów. Co to za wzorce - o tym nie mamy zwykle pojęcia, bo proces tworzenia i przechowywania wzorców odbywa się bez udziału naszej świadomości, odbywa się na gdzieś na głębszym poziomie.
Wszystko to jest niezmiernie ciekawe, my jednak musimy bezpiecznie zakończyć naszą podróż. Nie możemy po prostu stanąć w środku oceanu i powiedzieć sobie: jesteśmy zmęczeni. Trzeba przynajmniej dotrzeć do jakiejś wyspy. My zaś mamy ambicje dotrzeć do początku. Nawet jeśli ten początek, jak twierdzi prof. ks. M. Heller jest "wszędzie", to jak wiadomo, choć wszyscy są równi, to jedni są równiejsi od innych. Jeśli więc nawet prawdą jest, w jakimś tam sensie, że początek jest wszędzie, to nie wszędzie jest taki sam!
Możemy teraz zdefiniować Wiedźmę Δ - jest to operacja na macierzach, traktowanych jako wektory, określona tak:
Δ(X) = FXF-1
gdzie F jest macierzą reprezentującą stan f: f(A)=Tr(AF). Transformuje więc każdą macierz X przez "podobieństwo". Aby Δ mogła istnieć, macierz F musi być odwracalna, stan f musi być wierny, nie może być żadnego "sklejania". Wiedźma rozszyfrowana.
Możemy, jeśli chcemy, z tej Delty wyciągnąć pierwiastek kwadratowy:
Δ½(X) = F½ XF-½
Jest jeszcze druga ciekawa operacja na macierzach, oznaczana zwykle, w kontekście teorii Tomity-Takesakiego, literką J. Ta operacja jest niezwykle prosta, to jakby odbicie w lustrze:
J(X) = X*
Z tych dwóch operacji buduje się zwykle operację oznaczana literką S:
S = JΔ½
Trzeba to czytać jako
S(X) = J(Δ½(X))
Czyli najpierw na X podziałać Δ½ a potem na wynik podziałać Jotem.
Kiedy to zrobimy, otrzymamy w wyniku:
S(X) = F-½ X*F½
To S nie będzie nam do niczego potrzebne. Piszę o tym tylko dlatego, że piszą o nim Heller i Sasin, w dodatku piszą z błędami. Przypomnijmy, że F½ oznaczaliśmy literką ksi, t.j. ξ. Zatem
S(X) = ξ-1X*ξ
A teraz podstawmy za X, macierz Aξ (po co? Po to by porównać z tym, co piszą Heller i Sasin). Wtedy X*=(Aξ)*= ξ*A* =ξA*, skąd
S(Aξ) = ξ-1ξAξ = A*ξ
Czyli:
S(Aξ) = A*ξ
Formuła ta jest całkiem słynna. W istocie, od niej się wszystko zaczęło. My poszliśmy drogą odwrotną. Oto ta sama formuła wzięta z kilku różnych publikacji i monografii, w różnych wariacjach.
[1]:
[2]:
[3]:
[4]:
[5]:
[6]:
[7]:
[8]:
Nigdzie jednak nie znajdujemy wariacji tak oryginalnej jak w pracy Hellera i Sasina!
[9]:
Nota: Błąd u Hellera i Sasina polega na niefrasobliwym rozmieszczeniu nawiasów. Gdyby napisali
S(bξ) = b*ξ
byłoby dobrze. W matematyce jest tak, że nawiasy są niezwykle ważne! Jeśli mi student zamiast sin(2 pi) =0 napisze sin(2)(pi) = 0, to będę podejrzewał, że nie rozumie ani co to jest sinus ani co to jest pi ....
Referencje:
[1] H. Araki, The Mathematical Theory of Quantum Fields, Oxford University Press, 1999
[2] B. Blackadar, Operator Algebras, Theory of C* algebras and von Neumann Algebras, Springer 2006
[3] A. Connes, Geometrie noncommutative, InterEditions, 1989
[4] A. Connes, Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994
Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki.
Katalog SEOKatalog Stronmap counter
Życie jest religią.
Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem.
Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone.
Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić.
Dla tych ludzi świat zgaśnie.
Staną się dokładnie tym co dali życiu.
Staną się jedynie snem w "przeszłości".
Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości"
Lista wszystkich wpisów
Komentarze