Wierność i cykliczność

Dziś będzie o wierności. Zarówno w języku polskim jak i angielskim słowo „wierny” ma ten sam korzeń: wiara. Co ma wspólnego wierność z wiarą? U nas wierność oznaczać będzie jednak nie wierność wierze, wierność ideologii, czy wierność w małżeństwie, lecz „wierne odtwarzanie”. Wierny obraz, to znaczy „prawdziwy obraz”, tzn. obraz w którym się nic nie „pozlepiało”.

Czas dobrać się jeszcze bliżej do Wiedźmy Delta z pracy Hellera i Sasina – tej zależnej od „stanu”. Wybierzmy więc stan f na naszej algebrze Mat(2,C) macierzy zespolonych o dwóch wierszach i dwóch kolumnach. Ten stan, jak mówiliśmy poprzednio, to funkcja f przyporządkowująca każdej macierzy A liczbę zespoloną f(A). Funkcja ta winna mieć szereg własności – wymienialiśmy je w „Wiwat wszystkie stany „ Aby operator "wiedźma Delta" mógł zostać zdefiniowany, ten stan nie może być jednak dowolnym stanem. Musi być stanem wiernym. A co to jest stan wierny? Jest kilka równoważnych definicji. Jedna z nich jest taka:

Stan f jest wierny jeśli z f(A*A) = 0 wynika, że A=0.

Definicja ta jest prosta, algebraiczna, ale jak sprawdzić, mając dany stan czy jest on wierny czy nie?

Jechać po wszystkich różnych od zera A i sprawdzać czy f(A*A) jest wtedy też różne od zera? Kolosalna praca, bo wszystkich różnych od zera macierzy jest nieskończenie wiele. Nie sprawdzilibyśmy do .... tu wykropkuję.

Szczęśliwie okazuje się, że a naszym przypadku, gdy każdy stan f jest reprezentowany przez dodatnio określoną macierz F o śladzie jeden, tak, że:

f(A) = Tr(FA)

można bez większego trudu udowodnić twierdzenie (nie będziemy tego robić), że f jest wierny wtedy i tylko wtedy gdy macierz F jest odwracalna. Czyli gdy jej wyznacznik (iloczyn wartosci własnych) jest różny od zera.

Stan zlepiający F, rozważany wczoraj, mianowicie

[1 0]

[0 0]

ewidentnie nie był wierny. Iloczyn wartości własnych to 1 razy 0 równa się zero. A stan reprezentowany przez macierz

[0.25 0]

[0 0.75]

jest wierny, bo 0.25 razy 0.75 jest różne od zera!

Odtąd będziemy się zajmować wyłącznie stanami wiernymi. Zatem niech F reprezentuje taki właśnie stan. Można sobie np. konkretnie myśleć o tym ostatnim przykładzie z 0.25 i 0.75 na przekątnej. Ale, żeby się prościej liczyło, wybierzmy za nasz przykładowy stan wierny stan reprezentowany przez macierz F

[0.36 0]

[0 0.64]

Ponieważ 0.36 i 0.64 dodają się do jedynki i są większe od zera, jest to dobry stan.

Dlaczego tak się będzie „prościej liczyć”, kiedy wygląda dziwniej? Za chwile to zrozumiemy.

Mówiliśmy wczoraj, że kluczem, sekretem, do teorii Tomity i Takesakiego jest wyciąganie pierwiastka kwadratowego z F-a. No to wyciągnijmy. Pierwiastek z 36/100 to 6/10.

Pierwiastek kwadratowy z 64/100 to 8/10. Zatem

F^½ = [0.6, 0; 0, 0.8]

gdzie, przyjętym zwyczajem, drugą kolumne macierzy zapisałem w jednej linii, po średniku.

Teraz widzimy czemu wybrałem takie liczby a nie inne? Sprytnie wyszedłem od wszystkim znanej

równości Pitagorejskiej

3²+4² = 5²

Zatem 9+16=25. Teraz podzieliłem obie strony przez 25:

9/25 + 16/25 =1

Następnie licznik i mianownik pomnożyłem przez cztery

0.36+0.64=1

I tak dostałem dwie liczby dodatnie, dające w sumie 1 a każdej z nich łatwo wyciągnąć pierwiastek. Do niczego nam ta łatwość nie będzie co prawda potrzebna, ale przynajmniej mam satysfakcję z wmieszania do spraw Wiedźmy także i Pitagorasa!

To była dygresja. Wracamy do naszej macierzy F^½ w ogólnym przypadku. Nadamy jej prostą nazwę: ksi. Powinna tu stać, zgodnie ze zwyczajem, grecka literka, ale greka utrudnia pisanie.

Wiemy, że ksi można traktować jako „wektor”, tzn. teraz nasz stan można zapisać jako

f(A) = Tr(FA) = (ksi, A ksi)

gdzie (ksi, A ksi) jest iloczynem skalarnym w przestrzeni Hilberta naszych macierzy. Kto zapomniał, niechaj wróci do Wiedźma odwiedza przestrzeń Hilberta i odświeży pamięć.

Nasz wektor ksi ma teraz dwie bardzo ciekawe, choć bardzo proste, własności – jest wektorem cyklicznym i separującym dla naszej algebry.. Po co nam one? A po to, że Heller i Sasin w swojej pracy o „Pojawieniu się Czasu”, na str. 6 mają takie oto zdanie – zacytuję fragmencik:

Na żółto zaznaczyłem słowa „cyclic” oraz „separating”. Na to w czerwonej ramce na razie nie patrzmy. To błąd. Gdyby zobaczył to Słoń (a słonie jak wiadomo są bardzo mądre), zacząłby kręcić głową, kręcić, ażby ją sobie ukręcił. Ale to błąd nieistotny dla pracy, bo można było po prostu przepisać formułę z monografii Connes'a lub Takesakiego bez żadnych „ulepszań”, i byłoby dobrze. Czasem nie możemy się powstrzymać przed próbami „ulepszania” tego, co wielcy pionierzy przed nami napisali, nieprawdaż?

Zajmijmy się zatem tym tajemniczym zwrotem: „cykliczny i separujący”. Jest to zwrot wysoce techniczny a cykliczność w tym zwrocie nie ma nic wspólnego z cyklami. Skąd o tym wiem? Jest taki jeden fizyk matematyczny, rodem z Wrocławia, który na tym zjadł zęby. Z Wrocławia lub z Azji, bo nazywa się Azjatczyk. Spytałem go i mi wszystko wyjaśnił:

 

 

Spytacie pewnie Państwo co na tym obrazku robi suwmiarka? Chodzi o to, by udokumentować Wam, że nie rozmawiamy o rzeczach abstrakcyjnych a o rzeczach mierzalnych. Suwmiarka pokazuje wyraźnie, że wektor cykliczny i separujący dla algebry von Neumanna zajmuje 298 pikseli.

I jeszcze jedna uwaga. Tą samą rzecz w różnych pracach oznacza się różnymi symbolami. Heller i Sasin używają greckiego symbolu ksi ze znaczkiem małe omega. Małe omega to u nich to samo co nasze f. Ich ksi ze znaczkiem omega to to samo co nasze ksi. Azjatczyk zaś używa dużego Omega dla tego samego zwierzaka. Jak go zwał, tak go zwał. Pies jest ten sam. My, tutaj, ze względów typograficznych, będziemy po prostu pisać ksi.

Najpierw więc, co to znaczy, że ksi jest cykliczny dla naszej algebry macierzy ( a jest). Oznacza to tyle:

Każdą macierz (element naszej algebry macierzy) A można przedstawić jako wynik działania (z lewej strony) pewnej macierzy X na wektor ksi. Innymi słowy: równanie

A = X ksi

ma rozwiązanie X dla każdego A.

Prawda li to? Możemy to równanie rozwiązać? A możemy. Jak? Bo założyliśmy, że F jest odwracalne, zatem i ksi (pierwiastek kwadratowy z F) jest odwracalne. Dla naszgo przykładowego

ksi:

ksi = F^½ = [0.6, 0; 0, 0.8] = [6/10,0; 0,8/10]

ksi^-1 = [10/6,0;0,10/8]

Możemy teraz rozwiązać nasz równanie, po prostu mnożąc obie strony przez ksi^-1

X = A ksi^-1

Zatem nasze ksi jest wektorem cyklicznym. A co to znaczy, że jest separującym? Wektor ksi jest separujący dla algebry gdy z równości

A ksi = 0

wynika, że A musi być zerem. A u nas wynika, czy nie wynika? Załóżmy, że

A ksi = 0

Pomnóżmy przez ksi^-1 z prawej strony, ksi ksi^-1 da jedynkę, zostanie A=0.

Wszystko wynika zaś z tego, że założyliśmy iż nasz stan f jest stanem wiernym. Zatem Tomita i Takesaki będą hulać!

Nie ma więc w tej cykliczności i separowalności nic a nic tajemniczego. Po prostu fikuśne nazwy dla prostych własności. Z tych prostych własności powstaje jednak wcale nie tak znów prosta wiedźma Delta.

O Delcie i o błędzie (tym zakreślonym na czerwono) będzie następnym razem.

I jeszcze jedno: co i rusz pęta się tu wokół termin „algebra von Neumanna”. O Johnie von Neumannie można by pisać wiele, oj wiele. Ale o algebrach von Neumanna nic nie musimy wiedzieć. Nasza algebra macierzy o dwóch wierszach i dwóch kolumnach jest algebrą von Neumanna. W istocie jest przysłowiową Ewą od której wszystkie inne algebry von Neumanna wzięły początek.

P.S. Z tą suwmiarką to trochę żartowałem. Jest taki maleńki programik użytkowy na PC, który się nazywa Calipers. Pokazuje właśnie suwmiarkę na ekranie, mogę więc zmierzyć rozmiary każdego przygotowywanego do pokazania obrazka. Bardzo wygodna sztuka.