Zostawmy na jakiś czas w spokoju o. Jakiego i wróćmy do Ojca – Rodaka. Uprzedzam jednak: nie mam i nie zamierzam mieć litości dla urlopowiczów. Jak ja chcę mieć urlop, to wysyłam na urlop dzieci. Ot, w minioną niedzielę, wysłałem córkę po słońce, piasek i wodę nad ocean – serio, nie żartuję:

Wodę przywiozła mi córa w butelce Kleina (to pół, ale tylko pół-żart) :

Butelka Kleina powstaje ze sklejenia dwóch wstęg Möbiusa. W środku, w butelce uwięziony jest diabełek. Tylko, tak jak wstęga Möbiusa ma tylko jedną stronę, tak butelka Kleina nie ma środka ....

(o butelce Kleina jeszcze mam zamiar napisać, po uporaniu się z Początkiem)

A ja tymczasem mogłem posunąć do przodu moje „sprawdzanie Penrose'a i Hawkinga”. Wygląda na to, że czym głębiej zajrzeć w głąb króliczej nory, tym bardziej .... Ale zostawmy to na razie na boku. Jest takie pozornie paradoksalne powiedzenie, o którym mam tendencje do zapominania: „Opowiedz światu o swych zamierzonych dokonaniach, ale najpierw ich dokonaj.”

Dziś zahaczymy nieco o następujący fragment z M. Hellera „Początku, który jest wszędzie”

"Mając zbiór dowolnych elementów, możemy cześć z nich utożsamić ze sobą. Wskutek tego otrzymamy zbiór mniej liczny. Jeżeli utożsamień nie wykonamy przypadkowo, lecz biorąc pod uwagę pewną relację między elementami tego zbioru (utożsamimy na przykład tylko te elementy, które pozostają do siebie w tej relacji, na przykład są podobne do siebie pod jakimś względem), to takie utożsamienie nazwiemy sklejaniem.

Sklejmy teraz ze sobą pewne elementy algebry A. Niestety, nie możemy wdawać się tu w szczegóły i opisywać, które konkretnie elementy algebry A skleimy ze sobą. To, co w matematyce da się przedstawić w kilku stosunkowo prostych wzorach, w języku potocznym zajęłoby wiele stron, zaciemniając istotę zagadnienia. Poprzestańmy zatem na nazwie i sklejanie, o którym mowa, określmy mianem pierwszego sklejania w algebrze A. W jego wyniku otrzymamy inną, "mniej liczną" algebrę; oznaczmy ją symbolem A1. Algebra A1 jest niejako uproszczoną wersją algebry A, gdyż zapomina ona o pewnych informacjach, które w tamtej algebrze były zawarte. Można to zilustrować następującą analogią: jeżeli na algebrę A popatrzymy przez słabsze niż dotychczas szkło powiększające, to pewne elementy tej algebry zleją się w jedno, obraz będzie bardziej rozmazany – to jest właśnie algebra A1.

I jeszcze jedna ważna kwestia: przepis na pierwsze sklejanie w algebrze A zależy od stanu, w jakim znajduje się nieprzemienna przestrzeń opisywana przez tę algebrę. Jeżeli przestrzeń znajdzie się w innym stanie, to zmieni się również reguła utożsamiania elementów algebry A.

Po co dokonaliśmy sklejeń w algebrze A? Otóż potrafimy udowodnić (posługując się twierdzeniem Tomity-Tekasakiego), że po wykonaniu sklejeń w algebrze A, daje się wyróżnić pewne ciągi elementów, które można ponumerować ciągłym i rosnącym parametrem (matematycy ciąg taki nazywają grupą jednoparametrową). Ciąg taki oferuje więc coś bardzo podobnego do czasu. Z jednym ważnym zastrzeżeniem: ciąg ten zależy od stanu przestrzeni nieprzemiennej, widzieliśmy bowiem, że ma on wpływ na sklejanie elementów algebry A. Natomiast zwykły czas nie zależy od stanu, w jakim znajduje się układ fizyczny; płynie tak samo dla wszystkich stanów i układów fizycznych.

Mamy więc następujący obraz: początkowo nieprzemienna algebra, w której zawierają się wszystkie informacje o nieprzemiennej przestrzeni, opisuje fizykę całkowicie bezczasową, choć dopuszczającą uogólnioną, nieprzemienną dynamikę. Należy przypuszczać, że dzięki tej dynamice niektóre elementy pierwotnej algebry utożsamiły się, co spowodowało wyłonienie się uporządkowanych ciągów tej algebry."

Nic z tego nie rozumiecie? No to za chwilę zrozumiecie!

Ostatnim razem skończyliśmy na sekrecie. Przypomnę o co chodziło. Algebra naszego grupoidu Jasia i Małgosi jest niezmiernie prosta: to algebra Mat(2,C) macierzy dwa na dwa. Elementem algebry

jest macierz – tabelka

[a b]

[c d]

Liczby a,b,c,d to liczby zespolone. Jak ktoś się boi liczb zespolonych, może wziąć liczby rzeczywiste – nic strasznego się dziś przy tym nie stanie. Mnożenie w algebrze, to mnożenie macierzy – wyjaśniałem to. Stan f algebry to funkcja przyporządkowująca każdemu elementowi A (t. j. macierzy) algebry liczbę f(A). I znów, jeśli ktoś boi się liczb zespolonych to może, na dzisiaj, ograniczyć się do liczb rzeczywistych. Żeby f było „stanem” musi mieć szereg własności – wymieniałem je poprzednio. Suma sumarum okazuje się, że każdy stan f można przedstawić przez macierz F, tak, że liczbę f(A) otrzymuje się przez wzięcie śladu z macierzy FA (co jest tym samym, co ślad z macierzy AF). Macierze reprezentujące stany muszą być przy tym dodatnio określone i o śladzie równym jednym.

Sekret polegał na tym, że f(A) można było, używając śladu Tr, zapisać także jako iloczyn skalarny

f(A) = (F^½, A F^½) = Tr ( F^½, A F^½)

Macierz F^½, można więc traktować jako „wektor”, bowiem iloczyn skalarny zwykle bierzemy z pary „wektorów”. W równości powyżej jest to z jednej strony wektor F^½, a z drugiej strony wektor AF^½ otrzymany przez pomnożenie wektora F^½ przez macierz A z lewej strony (lub inaczej: podziałaniem operatorem A z lewej strony na wektor F^½).

Jesteś operatorem? Wyciągniemy z ciebie pierwiastek kwadratowy i staniesz się wektorem!

Weźmy bardzo to a bardzo prosty przykład. Weźmy za F macierz

[1 0]

[0 0]

Ta macierz ma poza przekątną zera, jest więc macierzą diagonalną. Na głównej diagonali stoją liczby 0 i 1. To są wartości własne tej macierzy. Są nieujemne. Więc macierz F jest „dodatnio określona”. Suma wartości własnych to 1+0=1, zatem ślad z F wynosi 1. Stąd F reprezentuje pewien „stan” algebry Mat(2,C).

Co to za stan? Obliczmy iloczyn FA, otrzymamy macierz

[a b]

[0 0]

Weźmy ślad (sumę liczb na przekątnej): a+0=a.

Albo, żeby sprawdzić, obliczmy AF, otrzymamy macierz

[a 0]

[c 0]

Weźmy ślad: a+0 =a. Istotnie, wychodzi na to samo. Nic dziwnego, bowiem Tr(AB) = Tr(BA) dla każdych dwóch macierzy A,B.

Nasz stan to przyporządkowanie każdej macierzy A:

[a b]

[c d]

liczby f(A) = a – lewego górnego elementu. Prosty to stan, nieprawdaż?

Według naszego sekretnego przepisu, jeśli nasz stan chcemy przedstawić „wektorem”, winniśmy wziąć pierwiastek kwadratowy z F. Ale F to macierz diagonalna, na diagonali ma 1 i 0, pierwiastek (ten dodatni) z jedynki to jedynka, pierwiastek z zera to zero, zatem, w naszym przypadku, F^½= F! Żeby było śmieszniej, choć nie tylko z tego powodu, oznaczmy nasz wektor grecką literką ksi i oznaczmy też przez N zbiór tych wszystkich elementów naszej algebry, które działając z lewej strony na ksi dają 0. Typowy element A naszej algebry to macierz

[a b]

[c d]

Wektor ksi to macierz

[1 0]

[0 0]

Mnożenie A ksi już wykonaliśmy wyżej – to przecież AF. Wynik wynosi

[a 0]

[c 0]

Aby to było zerem musi być a=0 oraz c=0. Zatem zbiór N to są wszystkie macierze mające w pierwszej kolumnie zero! Te wszystkie macierze „sklejają się, działając na wektor reprezentujący nasz stan, sklejają się w zero!

Przypomnijmy odpowiedni fragment z „Początku”:

„Sklejmy teraz ze sobą pewne elementy algebry A. Niestety, nie możemy wdawać się tu w szczegóły i opisywać, które konkretnie elementy algebry A skleimy ze sobą. To, co w matematyce da się przedstawić w kilku stosunkowo prostych wzorach, w języku potocznym zajęłoby wiele stron, zaciemniając istotę zagadnienia. Poprzestańmy zatem na nazwie i sklejanie, o którym mowa, określmy mianem pierwszego sklejania w algebrze A.”

Jeszcze nie doszliśmy do końca z tym pierwszym sklejaniem, bo choć coś się i może skleiło, to nie wiemy co w wyniku sklejenia powstało. Tu następuje małe rozumowanko, które niezprawionych może doprowadzić do małego zawrotu głowy. Ale tak naprawdę nic ani zawrotnego ani przewrotnego w tym nie ma. Wszystko co się skleja w zero będziemy traktować jako zero! Zatem wszystkie macierze mające w pierwszej kolumnie zera będziemy traktować jak zera. Jeżeli dwie macierze mają ta samą pierwszą kolumnę, to ich różnica ma w pierwszej kolumnie zera. Czyli traktujemy ją jak zero. Czyli diw macierze mające tą samą pierwszą kolumnę traktujemy jako identyczne, bez względu na to co mają w drugiej kolumnie. Mając macierz

[x u]

[y v]

jest ona „identyczna” z macierzą

[x 0]

[y 0]

bo pierwsze kolumny są identyczne! Taką macierz możemy śmiało

zapisać po prostu jako

[x]

[y]

Normalnie nazywa się to „wektorem kolumną”. Zatem, w wyniku „sklejania” z kwadratowych macierzy dostaliśmy wektory-kolumny. Pięknie, prawda?

I byłoby pięknie, gdyby nie to, że w następnym zdaniu ksiądz profesor napisał:

"W jego wyniku otrzymamy inną, "mniej liczną" algebrę; oznaczmy ją symbolem A1."

Mały szkopuł jest w tym, że wektory kolumny tworzą przestrzeń, ale nie tworzą algebry. W pracy z Sasinem autorzy są ostrożniejsi, nie piszą, że po sklejeniu otrzymują „algebrę”. Piszą, że otrzymują „nieprzemienna przestrzeń”. Ponieważ nie zdefiniowali przedtem co przez „nieprzemienną przestrzeń” rozumieją, jakoś to uchodzi. Natomiast w „Początku, który jest wszędzie” powtórzone jest to kilka razy:

Algebra A1 jest niejako uproszczoną wersją algebry A, gdyż zapomina ona o pewnych informacjach, które w tamtej algebrze były zawarte. Można to zilustrować następującą analogią: jeżeli na algebrę A popatrzymy przez słabsze niż dotychczas szkło powiększające, to pewne elementy tej algebry zleją się w jedno, obraz będzie bardziej rozmazany – to jest właśnie algebra A1.

No cóż, pisząc ksziążki popularne i filozoficzne ludzie się często rozluźniają, uważają na sformułowania zwykle jeszcze mniej niż pisząc do druku w czasopismach naukowych. Problem jest jednak w tym, że takie popularne rzeczy są potem powtarzane w mediach i w recenzjach.

Uwaga: Gdybym wybrał F w postaci

[0.25 0]

[0 0.75]

wtedy nic by się nie pozlepiało.

Mniej ważna uwaga: powoli dochodzimy do „diabełka i wiedźmy”. Nie zdradzę jednak jeszcze w którym szczególe Początku się nasz diabełek ukrywa i na kogo czyha. Tylko podpowiem: z naszej zlepiającej macierzy F, w przykładzie wyżej, ani z jej pierwiastka kwadratowego, nie da się wziąć logarytmu (bo co to jest logarytm z zera?). A bez logarytmu Tomita i Takesaki nie mają nic do roboty i muszą iść na przymusowy urlop.

Uwaga dla wtajemniczonych: Rzecz w tym, że zbiór N na str. 7 pracy Hellera i Sasina jest ideałem lewostronny a nie dwustronnym. Przestrzeń ilorazowa jest przestrzenią wektorową ale nie algebrą! Na dodatek zbiór N jest tam zdefiniowany błędnie, i to konsekwentnie, w paru miejscach, równaniem f(AA*)=0 zamiast f(A*A)=0. Równanie f(AA*)=0 definiuje ideał prawostronny a nie lewostronny, jak należy. Nie wiem, mam wersję „online”, nie mam opublikowanej na papierze. Może ten błąd został poprawiony, może jakiś recenzent to zauważył? Myślę, że wiem skąd się ten błąd wziął. Pewnie autorom się wydawało, że skoro używają konwencji fizyków a nie matematyków z iloczynem skalarnym, to A się wymieni z A*? Tak dobrze jednak nie jest. Ideał musi być ideałem lewostronnym bez względu na konwencję. Inaczej nie wyjdzie reprezentacja. Ten błąd można jednak poprawić, w końcu i tak na nic nie rzutuje.