Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
145
BLOG

Klucz do rajskiego ogrodu

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Kultura Obserwuj notkę 3

Zdradzę Wam dziś obiecany sekret - dam klucz do rajskiego ogrodu. Oczywiste że, jak to w bajkach i w życiu bywa, sam klucz to nie wszystko. Osobnik posiadający klucz musi mieć jeszcze odpowiednie własności. Inaczej otworzy sobie nim wrota do piekła a nie do raju.

Fizycy dziwny to naród. Mając stan f na algebrze, zamiast pisać f(A), piszą coś w rodzaju


<A>ρ


i nazywają tą liczbę „wartością oczekiwaną” (lub wartością „średnią ) „obserwabli A w stanie ρ . A co jeśli naszym układem jest cały Wszechświat? Jak tu uśredniać po wszystkich wszechświatach, gdy nawet z jednym nie dotrwaliśmy jeszcze do końca eksperymentu? Fizycy, zarówno ci bardzo religijni jak i mniej religijni, w ogóle się tym nie przyjmują. Wystarcza im, że „wszyscy tak robią”, więc i my się nie będziemy wychylać! Ci bardziej religijni dodadzą być może przy tym, że „nadmierna ciekawość prowadzi do piekła”. Reformiści i ikonoklaści przywołują na pomoc „teorię wielu światów”, zwykle pojęcia o niej nie mając, i powtarzają za innymi, że „teoria ta rozwiązuje wszystkie problemy interpretacyjne”. A skąd to wiadomo? Bo tak napisał profesor X czy Y. I mu to wydrukowali. Więc musi prawda....

Ale my tu nie o filozofii, bo statkiem wciąż kołysze a z głębi oceanu od czasu do czasu rozlega się dziwny, nisko brzmiący ryk. Trzymajmy więc krzepko ster i przygotujmy się do ostatniej czekającej w drodze Strefy Wysokiej Fali. Ta strefa będzie naprawdę niebezpieczna i, być może, stracimy w niej część załogi. Cóż, tak to już jest, bez ofiar się nie obędzie. Nigdy.

Poznamy dziś sekret, Otrzymamy klucz do bramy wiodącej do rajskiego ogrodu. W ogrodzie tym, pod palmą, wylegują się Tomita i Takesaki. Ci z kolei mają tajemną wiedzę, która pozwoli nam rozszyfrować Wiedźmę.

Zatem: Ster zero. Sternik tak trzymać!

(Ster zero - rozkaz ustawienia płetwy sterowej w osi symetrii jachtu; Sternik tak trzymać - rozkaz utrzymania kursu)

Zapisaliśmy f(A) w postaci

(1) f(A) = Tr(AF)

gdzie F jest macierzą dodatnio określoną, o śladzie równym jeden, reprezentującą stan f. Tymczasem w zwykłych podręcznikach mechaniki kwantowej, a jej to dotyczy schemat rozważany przez ks. prof. M. Hellera, używa się innego zapisu, mianowicie:

2) <ψ|A|ψ>

Powołam się tu na „niepodważalny autorytet samego Richarda Feynmana”, który w tomie trzecim swoich Wykładów (nie mam niestety wydania polskiego), pisze tak:

 

Feynman wzór

 

Zamiast A. w (20.18), ma co prawda H z daszkiem, ale to nic innego niż hermitowski element algebry („trochę” większej niż ta nasza). Feynman ma tu na mysli szczególny element algebry, nazywany „Hamiltonianem” i reprezentujący „energię”. (Piszę „energia” w cudzysłowie, bo nie znam niesprzecznej, sensownej i pozbawionej wyjaśniania poprzez to co jest do wyjaśnienia, definicji energii. Najlepszą, moim zdaniem, definicją energii jest: „przecież wszyscy wiedzą o co chodzi”.)

We wzorze 2), tym z Feynmana i z podręczników, psi to „wektor stanu” lub „funkcja falowa”. Te dzióbki po obu stronach to symbol „iloczynu skalarnego” wektorów stanu. Wprowadził je chytry Dirac, żartując sobie, że angielskie słowo oznaczające „nawias”, mianowicie „bracket”, można podzielić na dwie części: „bra” oraz „ket”. Nadał więc <ψ| przydomek „bra” (co dla znających angielski przypomina biustonosz, oj ci fizycy!), zaś |ψ> to „ket” (wymową przypomina kota). Kot w biustonoszu, a w środku A, to „wartość średnia”, czyli liczba f(A). Co bardziej pruderyjni, zwykle zmatematyzowani, fizycy ignorują wielkiego Diraca i piszą


  1. (ψ,Aψ)


Ma to oznaczać „iloczyn skalarny wektora  ψz wektorem Aψ"

Jaki jest związek 1) z 3)? Algebraicy ten związek znają i robią na tej znajomości kariery. Nic więc dziwnego, że związek ten nie jest normalnie wykładany na uniwersytetach. Ten sekret zastrzeżony jest dla uczelni specjalnych i dla służb specjalnych. A ja Wam go dziś wyjawię. Nie obawiam się przy tym, bo czytelnictwo tego blogu jest znikome. Czyta go, co prawda, Komenda Służby Granicznej, lecz ja dla Służby Granicznej żywię wielki szacunek. Wszak, jak napisałem wczoraj, najciekawsze rzeczy dzieją się na brzegu, na granicy!

Aby poznać sekret, a nie taki on znowu, sekretny, musimy wrócić do momentu, gdy Wiedźma odwiedziła przestrzeń Hilberta. Wprowadziliśmy tam iloczyn skalarny (A,B) dwóch macierzy  poprzez prostą formułę:

(A,B) = Tr(A*B).

(Tichy się przy tym zżymał, bo matematycy uważają to za bluźnierstwo lub nieuctwo, każdy bowiem matematyk jest uczony od pieluszek, że „powinno” się go wprowadzać jako Tr(AB*), inaczej grzech).

Sekret wyjawiony: F jest macierzą. Jest hermitowska. Jest nawet dodatnio określona. Jej wartości własne to liczby nieujemne. Możemy bez problemu wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej? Możemy. Każdy kalkulator to może, więc dla każdego ucznia to dowód, że można! Możemy więc wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z F! Nazwijmy go, jeśli nam to pasuje, ψ

ψ = F½ .


Skoro F jest macierzą hermitowską, to również F½ jest taką – pierwiastek z liczby nieujemnej jest liczbą rzeczywistą. Możemy więc obliczyć, używając naszego iloczynu skalarnego w przestrzeni macierzy, następująct iloczyn skalarny:

Ale, ponieważ pod śladem możemy macierze przestawić, przestawiamy pierwsze F½ na koniec:


(ψ,Aψ= Tr (AF½F½ ) = Tr(AF) = f(A)


I to cały sekret. Z nieujemnej macierzy F możemy wyciągnąć nieujemny pierwiastek kwadratowy i ten traktować jako „wektor stanu” - tyle, że w przestrzeni Hilberta macierzy!

Notka dla wtajemniczonych: możemy, w istocie, wyciągnąć więcej pierwiastków kwadratowych, niekoniecznie dodatnio określonych, z naszego F-a. Ta dowolność wiąże się ściśle z tzw. Fazą Berry'ego. Nie będziemy w to jednak się wgłębiać.

Sekret wyciągania pierwiastka kwadratowego okaże się kluczowym dla wprowadzenia Wiedźmy oraz do wprowadzenia „czasu zależnego od stanu”, jak to jest u M. Hellera, W Sasina i ich poprzedników.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Kultura