Wiwat wszystkie stany

Wiwat wszystkie stany! Byle razem, ramię w ramię,. A wszystko zło się przełamie.

Strzelców zebrać – rzecz łatwa; Prochu mam dostatek

W plebaniji u księdza jest kilka armatek

Szabel nam nie zabraknie, szlachta na koń wsiędzie

Ja z synowcem na czele i – jakos to będzie!

O jakich stanach tu mowa? Czy np. o stanie szlacheckim o którym Sędzia tak się wyrażał:

„Nie piję tak wiele

Jak wy szlachta; wy szlachta ciągniecie jak bąki!”

W istocie, bąka dziś zobaczymy, zobaczymy, że „stany”, to przekrój przez bąka.

W „Początku który jest wszędzie” Michał Heller tak pisze:

„Jak wiemy z rozważań o spinie (por. rozdział 10). mechanika kwantowa nie pozwala przed wykonaniem pomiaru przypisać obiektowi kwantowemu, takiemu jak elektron lub foton, konkretnej wartości jakiejś wielkości fizycznej, na przykład spinu. Możemy jedynie wyliczać prawdopodobieństwa, że po wykonaniu pomiaru elektron będzie miał określoną wartość spinu. Przed wykonaniem pomiaru elektron znajduje się w pewnym stanie. Stan ten jest opisywany przez wektor w przestrzeni Hilberta, zwany wektorem stanu lub, w starszej literaturze, funkcją falową. Stan elektronu może się zmieniać, czyli wektor stanu może podlegać ewolucji. Ewolucję tę fizycy często nazywają ewolucją unitarną; opisuje ją znane równanie Schrödingera. Posługując się wektorem stanu, możemy wyliczyć dla dowolnej chwili prawdopodobieństwo wyników, jakie dalby pomiar danej wielkości fizycznej, gdyby został wykonany w tej chwili. Podkreślmy – możemy wyliczyć tylko prawdopodobieństwa wszystkich możliwych wyników pomiarów. Prawdopodobieństwa te są zakodowane w wektorze stanu, który ewoluuje w czasie zgodnie z równaniem Schrödingera.”

No tak, ale jak to ugryźć, gdy nie ma elektronu, gdy jest tylko Jaś i Małgosia oraz algebra ich grupoidu? Heller nic o tym nie pisze. Tajemniczy jest jakiś. Dziś odsłonimy jedynie rąbek tej tajemnicy, następnym razem poznamy sekret prawdziwy.

Wprowadzimy pojęcie stanu. Wprowadzając nowe pojęcie można to robić na dwa sposoby. Można prowadzić Czytelnika za rękę tak, że nie wiedząc jak i kiedy znajdzie się w sytuacji, gdy bez tego pojęcia po prostu trudno mu się będzie obejść. Można też zrobić to przez zaskoczenie: pokazać, oślepić, odczekać chwilę aż oczy przestaną mrugać i ... ciągnąć dalej, jakby nigdy nic się nie stało. Wybiorę dziś tę drugą metodę – po oczach!

Poznaliśmy algebrę grupoidu Jasia i Malgosi. Jest to algebra Mat(2,C) macierzy, o elementach zespolonych, macierzy o dwóch wierszach i dwóch kolumnach. Elementami algebra są macierze

[a b]

[c d]

Możemy je dodawać do siebie: A+B, mnożyć przez liczby (zespolone) zA, mnozyć jedną macierz drugą AB, brać sprzężenie hermitowskie macierzy A --> A*. Jest też jeden wyróżniony element tej algebry, macierz jednostkowa I, tak, że IA = AI = A dla każdego A.

Definicja: Stanem f na algebrze A nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi A algebry liczby zespolonej, oznaczymy ją przez f(A) w ten sposób, że spełnione są następujące warunki:

Zamrugały oczy? I'm sorry! So sorry! Gorący kompres na oczy dobrze w takich przypadkach robi!

A o co tu idzie? Otóż elementy algebry, w naszym przypadku proste macierze, to twory dość dziwne. Ich interpretacja fizyczna i związek z doświadczeniem są mętne. W doświadczeniu, w wyniku „pomiaru” dostajemy liczbę a nie tabelkę liczb z dziwną zasadą mnożenia. To jaką liczbę otrzymamy, mierząc np. wartość spinu (cokolwiek to słowo miałoby oznaczać) wzdłuż jakiejś osi, zależy od tego w „jakim stanie” wirujący obiekt się znajduje. Otóż f(A) ma mieć, w zamierzeniu, bezpośredni związek z zaobserwowaną (zmierzoną) wartością. Macierz A to tabelka, f(A) – to liczba. Liczbę można porównać z wynikiem pomiaru. Z tabelka liczb gorzej, bo trudno wyjaśnić dziwne reguły mnożenia tabelek jedna przez drugą.

Jednak w wyniku pomiaru otrzymujemy zazwyczaj liczby rzeczywiste, a nie liczby zespolone (które same są tabelkami). Stąd wziął się warunek 3. Fizyk mówi tak: sens fizyczny (choć mętny) maja tylko te elementy algebry, które są hermitowskie: A=A*. Jeśli jednak tak jest, to f(A) - „zmierzona” liczba – winno być liczbą rzeczywistą. Warunek 5 interpretuje się wtedy tak:

Macierz A jest dodatnio określona gdy jej wartości własne są nieujemne. Wynik pomiaru to „średnia” z wartości własnych – winien leżeć gdzieś pośrodku. A jeśli jakaś liczba jest pośrodku liczb nieujemnych, to sama jest nieujemna.

Nie będę dyskutował tutaj tego czy taka „interpretacja” trzyma się kupy czy nie. Tak to się dziś robi. Jutro, gdy obecny paradygmat zostanie przełamany, może będzie się to robiło inaczej.

Chcemy teraz opisać wszystkie możliwe stany naszej algebry, poznać strukturę zbioru tych stanów, zrozumieć co to jest „wektor stanu”, o którym wspomina Heller. Chcemy zrozumieć dlaczego karina wszystkich stanów to, jak wspomniałem wyżej, przekrój przez bąka.

(W formacie pdf tutaj)

I tak od stanów i bąka zaczęliśmy, na stanach i bąku skończyliśmy. Uff. Żegluga po oceanie pełnym macierzy rzeczywiście dostarcza emocji.