(tekst na rysunku, w formacie pdf tutaj)
Uwaga: Na rysunku jest mały błąd. Literka z pod osią powinna być z kreseczką lub z gwiazdką - to liczba zespolona sprzężona do z. Przygotowanie rysunku zajmuje trochę czasu i wymaga skorzystania z kilku różnych programów, więc niech ten niewielki bład już zostanie.
A teraz wracamy do wiedźmy Delta.
Wychodząc od macierzy Δ postaci [r1,0;0,r2], doszliśmy wczoraj do postaci macierzy Δ it
Δ it = [cos(log(r1)t)+isin(log(r1)t),0;0 cos(log(r2)t)+isin(log(r2)t)]
To nasza kręcąca się w kółko wiedźma. Oznaczmy na chwilę argumenty pod sinusem przez „kąt1” i „kąt2”:
kąt1 = log(r1)t, kąt2 = log(r1)t
tak, że możemy napisać w postaci trygonometrycznej:
Δ it = [eikąt1,0;0 eikąt2]
Obliczmy operator hermitowsko sprzężony:
Δ it*= [e-ikąt1,0;0 e-ikąt2]=Δ -it
Zauważmy, że
eikąt1e-ikąt1 =eikąt1-ikąt1 = e0= 1.
Podobnie dla kąta 2. Stąd otrzymujemy:
Δ it Δ it* = Δ it*Δ it = I
Nasza wiedźma do urojonej potęgi jest więc macierzą unitarną!
Płyniemy dalej.
Muszę oznaczyć jakoś naszą algebrę macierzy zespolonych postaci
[a b]
[c d]
Wybrałbym kaligrafowane A, ale nie mam pod ręką kaligrafowanych czcionek, wybiorę wiec powszechnie używane w matematyce oznaczenie Mat(2,C). Mat – bo macierze, 2 bo o dwóch wierszach i dwóch kolumnach, C – bo a,b,c,d są liczbami zespolonymi (complex).
Zobaczymy dziś naszą algebrę Mat(2,C) od nowej strony. Zobaczymy ją mianowicie jako przestrzeń Hilberta. Nie wiecie, co to jest przestrzeń Hilberta? Nic nie szkodzi, nie będzie to niczego potrzebne.
Wiemy o tym, że operacja sprzężenia hermitowskiego przyporządkowuje każdej macierzy A hermitowsko do niej sprzężoną macierz A*. Jeśli A jest tabelką
[a b]
[c d]
to A* jest tabelką
[a* c*]
[b* d*]
gdzie a*,b*,c*,d* są liczbami zespolonymi sprzężonymi do a,b,c,d (normalnie piszemy kreskę nad literą, ale kreski nad literą nie mam jak postawić). Jeśli np a = x + iy, to a* = x – iy.
Poznaliśmy też ślad macierzy. Jest to liczba oznaczana przez Tr(A) (ang. 'trace') a równa sumie elementów na głównej przekątnej. W przypadku jak wyżej
Tr(A) = a + d.
Z tych dwóch operacji tworzymy trzecią, jak z klocków. Mianowicie dowolnej parze macierzy A,B
przyporządkowujemy liczbę (na ogół liczbę zespoloną), oznaczaną przez (A,B) i nazywaną iloczynem skalarnym macierzy A i B. Definiujemy ją jako
(A,B) = Tr(A*B)
Zatem: bierzemy A*, mnożymy ją przez B i z ich iloczynu bierzemy ślad.
Nota: Rasowy matematyk będzie się tu zżymał, bowiem matematycy są przyzwyczajeni do tego, że iloczyn skalarny definiuje się jako Tr(AB*) a nie jako Tr(A*B). Kwestia przyzwyczajenia. Moglibyśmy zrobić i tak i tak. Trzeba się jednak jakiejś konwencji trzymać. Wybrałem konwencję używaną przez fizyków.
Niektórzy z nas pewnie znają iloczyn skalarny wektorów. Jeśli x i y są wektorami w dwu lub w trójwymiarowej przestrzeni, to ich iloczyn skalarny oznacza się zwykle symbolem x.y. Definiuje go się różnie, choć w końcu na jedno wychodzi. Na przykład definiuje się go jako
x.y = ||x|| ||y|| cos(alpha),
gdzie alpha jest kątem pomiędzy wektorami. Na odwrót, jeśli mamy zdefiniowany iloczyn skalarny, np. we współrzędnych kartezjańskich, to możemy zdefiniować „kąt między wektorami” przez
cos(alpha) = x.y/ (||x|| ||y||)
Symbol ||x|| oznacza tu długość wektora x. Wyraża się zwykle formułą ||x|| = x.x (pierwiastek kwadratowy z iloczynu skalarnego wektora przez siebie). Będziemy się tej analogii trzymali, bo jest dobra. Macierze można traktować jako wektory .... w przestrzeni macierzy.
Wprost z definicji wynika całe mnóstwo własności iloczynu, których nie będziemy wyprowadzać. Jedne są natychmiastowe, mogą być świetnymi zadaniami domowymi, inne wymagają trochę obeznania z techniką. Wyliczę te własności. Jeśli ktoś jest odważny, może je spróbować wyprowadzić, choć niektóre są tak oczywiste, że możemy mieć kłopoty ze zrozumieniem co tu jest do wyprowadzania.
1a) (0,B) = 0 dla każdego B
1b) (A,0) = 0 dla każdego A
2a) (zA,B) = z*(A,B) dla każdej liczby zespolonej i każdych A,B
2b) (A,zB) = z (A,B) dla każdej liczby zespolonej z i każdych A,B
3a) (A+B,C) = (A,C) + (B,C) dla każdych A,B,C
3b) (A,B+C) = (A,C)+ (B,C) dla każdych A,B,C
4) (A,B)* = (B,A)
(Uwaga: (A,B) jest liczbą zespoloną. (A,B)* to liczba do niej sprzężona.)
5) (A,A) jest liczbą rzeczywistą większą lub równą zeru dla każdej macierzy A
6) Jeśli (A,A) = 0 to macierz A jest z konieczności macierzą zerową (składa się z samych zer)
Podobnie jak dla wektorów definiujemy długość (normę) |||A||| macierzy A jako
|||A||| = (A,A)
Uwaga: Użyłem tu trzech pionowych kresek, bo czasem, w innym kontekście, normę macierzy definiuje się inaczej, wolę więc uniknąć nieporozumień.
To właśnie własności 1-6 mówią o tym, że nasza przestrzeń macierzy Mat(2,C) jest „przestrzenią Hilberta”. Nie musimy się jednak tym, że o tym wiemy przed nikim chwalić.
Następnym razem zobaczymy jak wiedźma Δ itobraca całą algebrę Mat(2,C) wokół osi łączącej ją z Jednią i jak produkuje oscylacje (podobne do biorytmów) w związku Jasia z Małgosią. Przekonamy się też o tym, że zdegenerowana wiedźma niczym nie kręci. By mogła kręcić, musi być niezdegenerowana (tak to fizycy nazywają).
Uwaga: Wygląda na to, że nasza czasoprzestrzeń (czas i przestrzeń) jest zbudowana z wiedźm. Nie tylko czasoprzestrzeń, ale i jej czapka w nieskończoności. Tą konstrukcję zawdzięczamy Wielkiemu Magowi nazwiskiem Roger Penrose. Wygląda jednak na to, że Wieli Mag nie dopowiedział rzeczy do końca, a papugi, zafascynowane Wielkim Magiem, tą pólprawdę powtarzają. Tichy własnie sprawdza czy moje "wygląda na to" jest czyms więcej niż wygladaniem na to.
