Wyruszamy dziś w dalszą podróż. Poprzez Strefę Wysokiej Fali. Znamy już podstawowe terminy żeglarskie, czas na wypraktykowanie. Reszta przyjdzie w działaniu. Dziś rozprawimy się z wiedźmą Deltą w potędze it. Dopiero gdy przestaniemy się jej bać, przyjrzymy się jej dokładniej, zbadamy jej pochodzenie, zrozumiemy, że Delta w potędze it implementuje zależne od stanu (oj, nie ma ładnego polskiego terminu), automorfizmy naszej algebry. Brzmi to groźnie? Nie bójmy się. Nie taki diabeł straszny.
Wiedźma Delta okaże się macierzą ściśle dodatnią.
Uwaga: Bezpieczniejsze określenie, to "ściśle dodatnio określona". Brzmi to jednak mało zgrabnie.
Musimy więc wiedzieć co to są macierze dodatnie i jak je podnosić do urojonej potęgi. Jak zwykle wiele dróg prowadzi do Rzymu. Wybierzmy więc jedną, poprzez diagonalizację i wartości własne. Przypomnijmy, że każdą macierz normalną można zdiagonalizować. Jeśli macierz A=[a,b;c,d] jest macierzą normalną, tzn. jeśli AA*=A*A, wtedy istnieje unitarna macierz U (unitarna, tzn UU*=U*U=I) tak, że D=UAU* jest macierzą diagonalną:
D=[z1,0;0,z2].
Liczby zespolone z1,z2 nie zależą od wyboru diagonalizujacej macierz U (może być takich wiele) i nazywają się wartościami własnymi macierzy A. Liczby z1,z2 można znaleźć też algebraicznie rozwiązując, ze względu na niewiadomą z, równanie (dla macierzy 2x2 jest to proste równanie kwadratowe) Det(A-zI)=0. Liczby z1, z2 są rozwiązaniami tego równania. Nietrudno pokazać (proste ćwicznie, wprost z definicji), że jesli macierz A jest hermitowska (tzn. jeśli A=A*), to jej wartości własne z1,z2 są liczbami na osi rzeczywistej. Ponieważ literka z kojarzy się z zespolonością, dla macierzy hermitowskiej A jej wartości własne lepiej oznaczać literkami r1,r2. Tak też będziemy robić.
Definicja: Macierz A nazywa się macierzą dodatnią (bezpiecznej: dodatnio określoną), jeśli A jest macierzą hermitowską (A=A*) oraz jeśli obydwie jej wartości własne r1,r2 są liczbami rzeczywistymi nieujemnymi. Macierz A nazywa się ściśle dodatnią jeśli r1 oraz r2 są liczbami ściśle dodatnimi, t.j. większymi od zera.
Przykład: Niech A będzie macierzą diagonalną A=[ 1/4 ,0;0,3/4], to A jest ewidentnie hermitowska, nie musimy jej diagonalizować, bo już jest diagonalna, jej wartości własne to liczby 1/4 i 3/4, są obydwie większe od zera, zatem ta macierz A jest ściśle dodatnia.
Funkcje od macierzy hermitowskiej.
Przypuśćmy, że mamy jakąś funkcję f określoną na liczbach, rzeczywistych, wartościami tej funkcji moga być liczby rzeczywiste lub urojone. Np może to być funkcja f(x) = sin(x) lub f(x) = sin(x)+i cos(x). Chcemy obliczyć f(A), gdzie A jest macierzą hermitowską. Jak to robimy? Jaki jest przepis? Ano taki: najpierw diagonalizujemy macierz A, tzn znajdujemy operator unitarny U taki, że
D = UAU* jest macierzą diagonalną D = [r1,0;0,r2]. Dalej, definiujemy f(D) jako macierz
f(D)=[f(r1),0;0,f(r2)].
Wreszcie oddiagonalizowujemy f(D) operatorem unitarnym U* (odwrotnym do U). I to jest nasz wynik:
f(A) = U*f(D)U
Przykład: Przypomnijmy nas problem z jednego z poprzednich wpisów: mamy obliczyć
Δ it = exp(i log(Δ)t) = cos(log(Δ)t) + i sin(log(Δ)t)
NiechΔ będzie macierzą diagonalną, ściśle dodatnią:
Δ= [r1,0;0,r2]
gdzie r1, oraz r2 są większe od zera. Nie musimy zatem jej diagonalizować, bo już jest diagonalna. Według naszego przepisu log(Δ) jest macierzą:
log(Δ) = [log(r1),0;0, log(r2)]
Według przepisu sin([log(r1),0;0, log(r2)]) jest macierzą [sin(log(r1)),0;0, sin(log(r2))]. Podobnie z cosinusem. OstatecznieΔ it
jest macierzą
Δ it = [cos(log(r1)t)+isin(log(r1)t),0;0 cos(log(r2)t)+isin(log(r2)t)]
lub w jawnej macierzowej postaci:
[cos(log(r1)t)+isin(log(r1)t), 0 ]
[ 0, cos(log(r2)t)+isin(log(r2)t)]
Uwaga : W pierwszej wersji wyrażenia powyżej zrobiłem błędy. Postawiłem r1 i r2 nie wt ym miejscu co trzeba i dałem znak minus zamiast plus. Już poprawiłem.
I to jest nasza wiedźma w urojonej potędze. Zmienna t – to jest „czas”. Liczby dodatnie r1 i r2 okażą się związane z prawdopodobieństwami obsadzenia dwóch stanów energetycznych naszego atomu działania, cokolwiek to by miało znaczyć. (Trurl z Klapaucjuszem będzie się wkrótce czuł jak u siebie w domu, bo rozpozna rozkład Gibbsa charakteryzujący stan równowagi termodynamicznej.)
Widzimy więć, że wiedźma Delta w urojonej potędze nie taka znów straszna. Cały jej sekret to parę logarytmów, sinusów i cosinusów. Kręci się w kólko na miotle i kręci algebrą. W kólko i w kólko. Inaczej u nas nie może.
