Przed wejściem w strefę wysokiej fali przypomnimy sobie i nieco pogłębimy umiejętności nawigacji po oceanie algebry. Przygotowanie to zajmie nam ok. dwóch dni – potem nastąpią prawdziwe zmagania z żywiołem: fale, wichry, ulewy, burze i morskie potwory. Jednym słowem: straśno! Ale nie martwcie się - dopłyniemy!
Przypomnijmy najpierw, że operacje składania strzałek w grupoidzie Jasia i Małgosi reprodukuje mnożenie przez siebie macierzy 2x2, o dwóch wierszach i dwóch kolumnach.
Ze względów typograficznych macierz
[ a b]
[ c d]
wygodnie jest przedstawiać w jednej linii, jako [a,b;c,d]. Tak też będziemy robić. Wtedy łatwo jest macierzy nadać nazwę używając zwykłego tekstu, np:
A = [a,b;c,d]
Czym są jednak te a,b,c,d? Gdy wprowadzaliśmy macierze, mówiłem, że a,b,c,d moga być bądź to liczbami rzeczywistymi, bądź zespolonymi. Później, gdy zdałem sobie sprawę z tego, że nie każdy uczeń w szkole dobrze wie co to jest liczba zespolona, a jeśli nawet wie, to jeden wie to a drugi tamto, zatrzymaliśmy się na Przylądku Dobrej Nadziei by przygotować się do dalszego rejsu i poznać dokładniej Wąwóz Liczb Zespolonych i przylegający do niego Wąwóz Liczb Eksplodujących. Częścią wspólną obydwu wąwozów jest grań Osi Rzeczywistej. Diabeł ciągnie do wąwozu liczb eksplodujących a anioł z niego wyciąga. Być może od czasu do czasu zamieniają się nawet rolami? Tak czy siak porzucimy na razie liczby eksplodujące i skupimy się na liczbach zespolonych.
U Czytelnika może (powinno?) pojawić się teraz pytanie: to jak to jest? Rozważamy macierze
A = [a,b;c,d],
mówimy, że a,b,c,d mogą być liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, gdy tymczasem same liczby liczby zespolone wprowadziliśmy jako szczególne, symetryczno-antysymetryczne macierze! O co chodzi? Macierz w macierzy?
A czemu by nie? Czy wszyscy wiedzą co to jest matrioszka?
Matrioszki są charakterystycznym elementem rosyjskiej kultury ludowej, choć nie aż tak tradycyjnym jak by się mogło wydawać. Matrioszka ma niewiele ponad 100 lat.
Jest to zabawka składająca się z pewnej liczby drewnianych lalek, z których każda jest mniejsza od poprzedniej:
Lalki są wydrążone i przepołowione tak, że można je wkładać jedna w drugą:
Pierwsza matrioszka powstała pod koniec XIX wieku w moskiewskiej pracowni zabawkarskiej i była wzorowana na japońskiej lalce przedstawiającej mędrca Fukurumę. W 1900 r., matrioszki były istotnym elementem rosyjskiej ekspozycji na Wystawie Światowej w Paryżu, po czym - w związku z ich entuzjastycznym przyjęciem - w Siergiew Posad rozpoczęta została produkcja na szerszą skalę.
Lalka w lalce, a w tej lalce jeszcze jedna lalka .... Co w tym dziwnego? Co trudnego? Po prostu dobra zabawa. Wiemy jak mnożyć macierze. Przypomnijmy (wiersz razy kolumna):
[a,b;cd][e,f;g,h] =
[ae +bg, af + bh; ce+dg; cf+dh]
Czy stanie się coś strasznego, gdy a,b,c,d nie będą liczbami lecz macierzami? Reguła mnożenia będzie ta sama:
[A,B;C,D][E,F;G,H] =
[AE +BG, AF + BH; CE+DG; CF+DH]
Weźmy na przykład macierz [0,i;-i,0] lub, w tradycyjnym zapisie:
[ 0 i]
[-i 0]
Pamiętamy, że sami i przedstawiliśmy jako macierz
[ 0 1]
[-1 0]
zaś -i przedstawiane jest przez macierz i ze zmienionymi znakami:
[ 0 -1]
[ 1 0]
Wtedy nasze [0,i;-i,0] możemy, jeśli sprawia nam to przyjemność, lub jeśli nam to jest potrzebne, zapisać jako
[ 0 0 0 1 ]
[ 0 0 -1 0]
[-1 0 0 0 ]
[ 0 1 0 0 ]
W prawym górnym rogu naszej lalki jest lalka i, w której są liczby 1,-1. W lewym dolnym rogu jest lalka -i, w której są liczby 1, -1. W lewym górnym i w prawym dolnym są lalki 0 – macierze 2x2 złożone z samych zer. Jest jasne, że wygodniej jest naszą macierz zapisać jako [0,i;-i,0] niż jako przeźroczystą matrioszkę o czterech wierszach i czterech kolumnach. Tak też będziemy robić.
Poniżej zamieszczam pierwszą część Glosariusza terminów żeglarskich. Gdyby ktoś chciał ten glosariusz dla siebie zatrzymać, zamieściłem go w formacie pdf tutaj.
