„
Tablica Szmaragdowa”, której autorstwo zwykle przypisywane jest niejakiemu Hermesowi Trismegistosowi, tak się zaczyna:
To jest prawdą, całą prawdą, na pewno i bez kłamstwa:
To co jest na dole jest takie jak to co jest na górze; a to co jest na górze jest takie jak to co jest na dole. Poprzez to dokonują się wszelkie cuda.
I tak jak wszystkie rzeczy istnieją w Jednym i pochodzą od Jednego, które jest najwyższą Przyczyną, poprzez mediację Jednego, tak wszystkie rzeczy są zrodzone z Jednej Rzeczy przez adaptację.
My także zastosujemy alchemiczną metodę adaptacji. Naszym Jednym jest „atom działania” oparty na grupoidzie Jasia i Małgosi. Naszymi tablicami są tablice liczb, czyli macierze. Naszym cudem na dziś jest podniesienie liczby dodatniej do potęgi która jest tablicą – liczbą urojoną. A jest to:
... Jest to moc ponad moce, siła posiadająca siłę wszelkiej mocy, gdyż przezwycięży każdą subtelną rzecz i przeniknie każdą litą rzecz.
W ten sposób został stworzony świat. ...
Początek jest zatem wszędzie. Więc zacznijmy od początku.
Na początku było 0 i 1. Z dodawania ich do siebie powstały liczby naturalne0, 1, 2, 3, .... Ten ciąg był niesymetryczny. Z odbicia względem zera powstały liczby całkowite 0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, ...
Z liczb całkowitych powstały liczby wymiernem/n, gdzie n jest różne od zera, np. 3/2. To był diabeł algebry. Włączył sie do tego anioł geometrii, który na siatce liczb naturalnych stworzył trójkąt, długość przeciwprostokątnej którego nie chciała być liczbą wymierną. Diabeł algebry uzupełnił więc liczby wymierne o pierwiastki, np. o pierwiastek kwadratowy z 2. Nazwał je liczbami algebraicznymi. Anioł geometri się nie poddał. Stworzył okrąg o promieniu 1, którego długość obwodu i pole nie chciały się wyrazić nawet przez pierwiastki z liczb wymiernych. Diabeł algebry stworzył więc „continuum” liczb rzeczywistychdodając liczby transcendentnetakie jak np. e oraz π. Diabeł długo się wszak nie pocieszył, bo szybko zauważył, że nawet ze swymi liczbami rzeczywistymi nie potrafi rozwiązać prostego równania:
X2 = -1
W piekle przystąpiono do gorączkowej pracy. Jeden z członków diabelskiej komisji (mówi się, że mógł to być niejaki Korowiow) wpadł na iście szatański pomysł: wprowadził tablice liczb rzeczywistych, o dwóch wierszach i dwóch kolumnach i pomieszanej symetrii-antysymetrii;
[ x y]
[-y x]
nazwał te tablice liczbami zespolonymi i pokazał, że wredne równanie ma rozwiązanie (nawet dwa), jeśli X będziemy interpretować jako liczbę zespoloną a nie rzeczywistą. Rozwiązaniami diabelskiego równania so bowiem ioraz -i, gdzie jednostka urojona i jest tablicą:
[ 0 1]
[-1 0]
Diabeł polecił też interpretować 1po prawej stronie równania jako jedynkę na osi rzeczywistej, tzn. też jako tablicę
[ 1 0]
[ 0 1]
Anioła geometrii, jak teraz zobaczymy, bardzo to ucieszyło, sprawiło mu to prawdziwą fizyczną przyjemność (choć aniołom wbija się od małego do głowy, i może nie bez racji, że odczuwanie fizycznej przyjemności to „grzech”), mógł bowiem teraz otrzymać swe ukochane, okresowe, poczciwe funkcje trygonometryczne sinus i cosinus z diabelskiej, eksplodującej funkcji wykładniczej exp. A jak nasz anioł (rodem bodaj z tych Serafinów) to zrobił? Popatrzmy.
Zauważył najpierw nasz Serafin, że samo i jest ciekawie okresowe:
i0= 1, i1= i, i2 = -1, i3= -i
i4=1, i5= i, i6= -1, i7 = -i
i8= 1, ...
itd.
Okresowość cztery. Anioł poczuł się od razu jak u siebie w domu:
Patrzyłem, a oto wiatr gwałtowny nadszedł od północy, wielki obłok i ogień płonący oraz blask dokoła niego, a z jego środka [promieniowało coś] jakby połysk stopu złota ze srebrem, ze środka ognia. Pośrodku było coś, co było podobne do czterech istot żyjących. Oto ich wygląd: miały one postać człowieka. Każda z nich miała po cztery twarze i po cztery skrzydła. Nogi ich były proste, stopy ich zaś były podobne do stóp cielca; lśniły jak brąz czysto wygładzony. Miały one pod skrzydłami ręce ludzkie po swych czterech bokach. Oblicza i skrzydła owych czterech istot - skrzydła ich mianowicie przylegały wzajemnie do siebie - nie odwracały się, gdy one szły; każda szła prosto przed siebie.
Ezechiel I.4-9
Wziął więc nasz aniołek diabła za rogi i poszedł, jak to jest w Piśmie, prosto przed siebie.
Wziął eksplodującą diabelską funkcję exp(x):
exp(ax) = 1 +(ax)/1! + (ax)2/2! + (ax)3/3! + (ax)4/4! + ...
lub
exp(ax) = 1 +ax/1! + a2x2/2! + a3x3/3! + a4x4/4! + ...
Radził przewrotny diabeł zastąpić liczby rzeczywiste liczbami urojonymi? Radził. No to zastąpmy a przez i. Co mamy? Ano formalnie mamy:
exp(ix) = 1 +ix/1! + i2x2/2! + i3x3/3! + i4x4/4! + ...
Możemy teraz wykorzystać okresowość iw kolejnych potęgach:
exp(ix) = 1 + ix/1! - x2/2! - ix3/3! +
x4/4! + ix5/1! - x6/6! - ix7/7! +...
oraz zgrupować człony rzeczywiste i urojone (matematyk zapewni nas, że nie popełniamy przy tym grzechu):
exp(ix) = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! +...
i(x/1! - x3/3! + x5/1!- x7/7!+...)
W części rzeczywistej rozpoznajemy cos(x), zaś człony przy i dają sin(x). Zatem:
exp(ix) = cos(x) + i sin(x)
Jeśli bardzonam zależy, możemy wrócić do postaci macierzowej. Przypominamy sobie, że powinniśmy (jak to diabeł sugerował) zapisać to równanie jako
exp(ix)1 = cos(x)1 + i sin(x)
gdzie1 jest macierzą
[ 1 0]
[ 0 1]
zaś ijest macierzą
[ 0 1]
[ -1 0]
Wtedy
cos(x)1jest macierzą
[cos(x) 0 ]
[ 0 cos(x)]
zaś isin(x)jest macierzą
[ 0 sin(x)]
[-sin(x) 0 ]
Dodając je do siebie dostajemy
[0 x] [ cos(x) sin(x)]
exp( ) =
[-x 0] [ - sin(x) cos(x)]
Uwaga: Trochę mi ta formuła wyszła niezgrabnie, lepiej było posłuchać tichego i zapisać to oddzielając wiersze macierzy średnikiem:
exp([0,x; -x,0]) = [cos(x),sin(x); -sin(x),cos(x)]
Wygodniej jednak trzymać się, kiedy tylko można, prostszej formuły jaką otrzymaliśmy wyżej:
eix= exp(ix) = cos(x) + i sin(x)
Na koniec możemy zrobić jeszcze jeden krok. Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby dodatniej a
zdefiniowaliśmy funkcję wykładniczą axjako
ax= exp(log(a)x)
Podstawiając zamiast rzeczywistego xurojone ixotrzymujemy
aix= exp(i log(a)x) = cos(log(a)x) + i sin(log(a)x)
Co to za bies? Oznaczmy log(a)xprzezf. Wtedy
aix= exp(if) = cos(f) + i sin(f)
Nasz bies ma więc część rzeczywistą równą cos(f) oraz część urojoną równą sin(f). Łatwo nam to narysować na płaszczyźnie zespolonej. Żeby nam się nie myliło, zamiast symbolu x, którym często oznaczamy część rzeczywistą liczby zespolonej z = x + iy, użyjemy symbolu t:
Wróćmy teraz do Hellera-Sasina
Zamieniając w naszej formula ana Delta, zaś xna t,rozszyfrowujemy formułę z Deltąjako:
Δ it= exp(i log(Δ)t) = cos(log(Δ)t) + i sin(log(Δ)t)
Tyle, że nie wiemy co to jest ta diabelska Delta. I tym się odtąd zajmiemy. Czymkolwiek by ta wiedźma DeltaΔ (Djak Diablica?) nie była, musi być czymś takim, z czego można obliczyć logarytm. Lepiej niech więc będzie dodatnia! Wtedy anielskie sinusy i cosinusy ją spacyfikują i nakażą jej latać w kółko, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, jeśli log(Delta)będzie dodatni, lub w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, jeśli log(Delta)będzie ujemny. Ciekawe w którą stronę nasza wiedźma będzie biegać, nieprawdaż? A może stanie w miejscu w osłupieniu? W jednym z poprzednich wpisów dałem ku temu wskazówkę, ale jestem w 100% pewny, że umknęła Waszej uwadze. Tak czy siak, jak to w alchemii bywa, dla równowagi, po drugiej stronie lustra algebry będzie anty-wiedźma, biegająca w przeciwną stronę (swoją drogą ciekawe, że ksiądz profesor o anty-wiedźmie nie wspomina).
Jutro wreszcie, po niespodziewanie długim przygotowaniu do drogi, opuszczamy Przylądek Dobrej Nadziei i ruszamy w dalszą podróż, w strefę wysokich fal.
W pierwszym dniu naszej podróży przypomnimy sobie nasze umiejętności żeglarskie – a będziemy żeglować po ciemnym i złowrogim Oceanie Algebry Macierzy. Sami sobie będziemy musieli być światłem. I o to często w życiu chodzi.
Zadanie domowe:
1) Posługując się metodą grupowania, jak zademonstrowana wyżej przy obliczaniu exp(ix), obliczyć exp(jx), gdzie j jest liczbą eksplodującą o kwadracie równym 1. Następnie obliczyć ajt
2) Obliczyć liczbę zespoloną sprzężoną do aix, tzn (aix)*
