Funkcja wykładnicza się kłania nisko

Poznaliśmy już funkcję exp(x), określoną dla wszystkich rzeczywistych x, której wartości są zawsze dodatnie, oraz funkcję odwrotna, log(x), określoną dla wszystkich dodatnich x, której wartości rozciągają się na zakres wszystkich liczb rzeczywistych. Zanim pójdziemy dalej warto zanotować pewna szczególną liczbę, mianowicie exp(1). Jej wartość możemy wyliczyć w przybliżeniu z sumowania:

e = 1+ 1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+1/7!+1/8!+....

Obliczając i dodając do siebie te osiem ułamków otrzymujemy przybliżoną wartość stałej e (zwanej podstawą logarytmu naturalnego):

e = 2.71828...

Ponieważ exp(1) = e, to log(e) = 1.

Wprowadzimy teraz małą, ale użyteczną wariację funkcji exp. Będzie nam potrzebna. Poprzednim razem widzieliśmy, że funkcję exp można ściskać i rozciągać zamieniając exp(x) na exp(ax). Zróbmy teraz tak: niech a będzie dowolną liczbą dodatnią. Skoro a jest liczbą dodatnią, możemy wziąć log(a) – ten jest liczbą rzeczywistą. Możemy więc teraz rozciągnąć lub ścisnąć wykres exp(x), zamieniając exp(x) na exp(log(a)x). Otrzymujemy funkcję przyporządkowującą każdemu x

liczbę exp(log(a)x). Tę funkcję oznaczamy w szczególny sposób, mianowicie a^x:

a^x= exp(log(a)x)

Jest to nic innego niż ściśnięta lub rozciągnięta funkcja exp(x). Ściśnięta, jeśli log(a)>1, co dzieje się wtedy gdy a jest większe e. Rozciągnięta, jeśli a jest mniejsze od jedynki, co dzieje się wtedy, gdy a jest mniejsze od e.

Uwaga: Trzeba pamiętać, że jest to bezproblemowe tylko wtedy gdy a jest dodatnie. Nic innego nie będzie nam potrzebne.

Funkcja wykładnicza, bo tak się ten zwierz nazywa, ma dwie ważne własności, niezbyt trudne do wyprowadzenia, nie będziemy się tu jednak ich wyprowadzeniem zajmować. Dla dowolnego dodatniego a oraz dowolnych rzeczywistych x,y mamy:

a^x+y=a^xa^y
(a^x)^y=a^xy

Czytamy 1: a do potegi (x plus y), równa się a do potegi x, mnożone przez a do potegi y.

Czytamy 2: a do potegi x, zaś wynik do potegi y, równa się a do potegi równej iloczynowi x i y.

A po co nam to wszystko? Wróćmy do tego nieszczęsnego fragmentu pracy Michała Hellera i i Wiesława Sasina, fragmentu na którym utknęliśmy:

Delta Mamy tam Deltę do potęgi it. Ta Delta będzie się u nas składała z dwóch liczb dodatnich (będą z związane z „prawdopodobieństwami” zajmowania przez nasz „atom” pewnych „stanów energetycznych” odnoszących się do Jasia i Małgosi). Każdą z tych liczb będziemy musieli podnieść do potęgi. Podnosić liczby dodatnie do potęgi właśnie się nauczyliśmy. Problem w tym, że umiemy na razie podnosić do potęgi rzeczywistej, zaś zrozumienie „początku który jest wszędzie” wymaga od nas umiejętności podnoszenia do potegi urojonej, bo choć t jest rzeczywiste („czas”), to i stojące przy nim jest urojone.

O tym jutro. Zobaczymy, że będzie to, przy naszej wiedzy, banalnie proste.

A póki co, oto wykres funkcji „ a do potegi x”, dla a zmieniających się w zakresie od -1 do 3, x zmienia się od -8 do 8. Wykres obciąłem dla a^x równego 4, bo gdzieś musiałem obciąć. Obciąłem na czwórce, by wykres nie był zbyt nudny.

exp(ax)