Kim/czym jest panna, madonna z tego wiersza:
„Grande Valce Brillante
Czy pamiętasz, jak z tobą tańczyłem walca,
Panno, madonno, legendo tych lat?
Czy pamiętasz, jak ruszył świat do tańca,
Świat, co w ramiona mi wpadł? „
Każdy z nas ma swe prywatne panny-madonny czy swych prywatnych kawalerów-rycerzy. Jest jednak, jak mi się wydaje, panna-madonna wspólna dla nas wszystkich. To Rzeczywistość.
„Wylękniony bluźnierca,
Dotulałem do serca
W utajeniu kwitnące, te dwie,
Unoszone gorąco,
Unisono dyszące,
Jak ty cała w domysłach i mgle... „
A czym są „te dwie”? Dla nas, będą to funkcja wykładnicza, „eksponencjał”, oraz funkcja odwrotna, logarytm naturalny. Dziś poznamy bliżej tą pierwszą. Zatańczymy walca urozmaiconego trzema nowymi figurami tanecznymi: ściskamy, rozciągamy, odbijamy. Raz, dwa, trzy, raz dwa trzy... Bez poznania tych kroków nie da się zrozumieć „początku, który jest wszędzie”.
Ostatnio poznaliśmy funkcję ex, zapisywaną także jako exp(x) lub Exp(x). Przypomnijmy jej
wykres:
Można ją z dowolna dokładnością przybliżyć sumując, dla każdego x-a z wybranego przedziału, dostatecznie wiele wyrazów szeregu:
exp(x) = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ...
A co będzie, jeśli w tym szeregu za x podstawimy wszędzie 2x? Albo 0.5x? Otrzymamy funkcje przyporządkowujące każdemu x-owi liczby exp(2x)i exp (0.5x)
x --> exp(2x) i x --> exp (0.5x).
Na poniższym obrazku mamy wykresy funkcji
x -- > exp(ax)
dla ośmiu różnych wartości a: kolejno a = 0, 0.1, 0.25, 0.5, 1, 2, 4, 8.
Dla a = 0 otrzymujemy funkcję stała e0x = e0 = 1 dla każdego x. Dla a = 0.1 nasza funkcja staje się funkcją rosnącą. Czym większe bierzemy a, w exp(ax), tym bardziej wykres funkcji jest „ściskany”. Dla a = 8 wykres funkcji, w wybranych przez nas dla zobrazowania zmienności, przedziałach zmienności x-a i ygreka, staje się prawie „pionowy”, nieodróżnialny od samej osi y.
Dlaczego jednak mamy się ograniczyć do iksów nieujemnych? Nasz szereg
exp(x) = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ...
jest tak samo dobry dla iksów dodatnich jak i ujemnych. Oto wykresy funkcji exp(x) kolejno dla
a = 0, -0.1, -0.25, -0.5, -1, -2, -4, -8.
Teraz, możemy wykonać obydwa kroki po kolei:
Krok 1: ściskamy a = 0, 0.1, 0.25, 0.5, 1, 2, 4, 8
Krok 2: rozciągamy: a = -8, -4, -2, -1, -0.5, -0.25, -0.1, 0
Wygląda to na animacji, gdzie te dwa kroki powtarzane są w kółko, tak:
Uwaga: aby zobaczyć animację musicie na to zezwolić waszej przeglądarce. Jeśli u kogoś nic się na obrazku nie rusza, wtedy zapewne jakiś inny czytelnik będzie miał na to dobrą radę. Albo radę dla mnie: jaki format jest najlepszy dla animacji - bo animacji będzie w przyszłości więcej.
Och, widzę, że pani akompaniatorka chce wyjść na dwór zapalić (ale wy, dzieci, nie bierzcie z niej przykładu, zrójnowalibyście wasze młode płuca i majątek waszych rodziców), więc zróbmy przerwę. Wykorzystamy ja na Dygresję:
Dygresja: Funkcja exp(x) ma ciekawą i ważną, wręcz niesłychanie ważną własność:
Dla dowolnych liczb rzeczywistych u,v mamy
exp(u+v) =exp(u)exp(v)
Własność ta jest istotna do tego stopnia, że exp jest jedyną funkcją o tej własności, jeśli tylko nałożymy na nią odpowiednie warunki normalizacyjne i zażądamy by była dostatecznie gładka. Kładąc w tym wzorze w szczególności v = -u oraz biorąc pod uwagę to, że exp(0) = 1, otrzymujemy stąd
1 = exp(u)exp(-u)
lub (tym razem zamiast symbolu u użyję symbolu x)
exp(-x) = 1/exp(x)
dla dowolnego rzeczywistego x.
Koniec dygresji. Pani akompaniatorka jest znów z nami, możemy poznać więc następną figurę: odbijanie.
Funkcja exp(x) jest różnowartościowa, dla różnych x wartości exp(x) są różne. Linia pozioma, jeśli tylko nie jest linią osi x, kiedy y = 0, przecina grafik funkcji co najwyżej w jednym punkcie. Jeśli linia pozioma jest ponad osią y = 0, to przecina wykres funkcji w dokładnie jednym punkcie. Jeśli linia pozioma jest poniżej osi x, wtedy nie przecina wykresu funkcji w ogóle. Znając y = exp(x), jeśli tylko y jest większe od zera, jest tylko jedno x dla którego y = exp(x). To x oznaczamy symbolem log(y) (czasem ln(y) ) i nazywamy logarytmem naturalnym z y. Wykres logarytmu wygląda tak:
Powstaje z wykresu funkcji wykładniczej przez zamianę miejscami roli x oraz y. To co było odciętą staje się rzędną, to co było rzędną staje się odciętą. Głowę można stracić! Graficznie ta operacja wygląda tak:
Bierzemy wykres funkcji exp(x)
obracamy o 90 stopni w kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara (t.j. W naszym świecie, bo w anty-świecie zegary chodzą w odwrotna stronę :):
Następnie odbijamy w lustrze osi pionowej.
Hokus-pokus, z wykresu funkcji wykładniczej otrzymujemy wykres funkcji logarytmicznej. Nadałem tej figurze tanecznej nazwę, choć może to być niezbyt udana nazwa, „odbijanie”. Możemy teraz przećwiczyć naszą wyobraźnię i przekonać się, że dwukrotnie wykonana po sobie taka operacja odbicia prowadzi do funkcji wyjściowej. Mówimy, że funkcja log(x) jest funkcją odwrotną do funkcji exp(x). Podobnie funkcja exp(x) jest funkcją odwrotną do funkcji log(x). W zapisie:
Dla x > 0 mamy exp(log(x)) = x.
Dla dowolnego x rzeczywistego mamy log(exp(x)) = x.
Żeby nam się tylko terminologia nie pomyliła: exp(-x) jest odwrotnością exp(x):
exp(-x) = 1/exp(x)
log(x) jest funkcją odwrotną do funkcji exp(x). Matematycy zapisują to czasem tak:
exp(-x) = exp(x)-1
log(x) = exp-1(x)
Subtelna ale ważna różnica.
Nauczyli mnie mnóstwa mądrości,
Logarytmów, wzorów i formułek,
Z kwadracików, trójkącików i kółek
Nauczali mnie nieskończoności.
Jak zobaczymy nie taki diabeł straszny jak go nasz poeta w tej strofie maluje. Ma nawet diabeł ów swoisty urok, elegancję i swoiste piękno.
