... Siła jest potęgą, która rychło usuwa zwątpienie. Po nocy zniechęcenia napełnia nas z porankiem otuchą i ufnością, nasuwa świeże plany, sprowadza nowe korzyści. Jest ona taką właściwością lub pierwiastkiem, co chroni nas przed pomyłką lub niepowodzeniem, a przenosi na tor główny ku wygranej. Jest pierwiastkiem, który nam użycza taktu i dystynkcji. Jeśli go wzmocnimy, możemy stawić czoło tym, którzy nas dawniej poniżali, odgrażali się nam lub z ukosa na nas patrzyli. (Taka tyrania zawsze spotyka tych, co pragną się wybić w świecie). Mniejsza o to, czy jesteś dobrym, sympatycznym, uczynnym; jeżeli ci braknie siły, zdolności skupienia się lub osiągnięcia słuszności, skoro jaki przycinek, zmarszczenie brwi lub przekąs chwilowo wypłoszy twój dowcip, nie osiągniesz powodzenia w życiu; nie posiądziesz tego, do czego masz wszelkie prawo. Siła jest taką właściwością lub pierwiastkiem, który, jeśli ci się noga powinie lub nieszczęście nagłe cię spotka, pozwoli ci przyjść do siebie, skupić się, zapomnieć o wszelkich kłopotach i rzucić się do nowego wysiłku. ...
[Prentice Mulford, „ŹRÓDŁO TWOJEJ SIŁY”]
Wszyscy wiemy co to jest potęga. Możemy wziąć x do potęgi zerowej, pierwszej, drugiej, trzeciej, czwartej, ... 1, x, x2, x3, x4,... Prócz potęgi mamy także „silnie”
0! = 1,
1! = 1,
2! = 1x2 = 2,
3!= 1x2x3 = 6,
4! = 1x2x3x4 = 24, ...
Mamy także w naszym świecie dwoistość, rzeczy lubią chodzić parami. Co więc będzie, jesli połączymy potęgi z silniami a w dodatku połączymy plusiki z minusikami i zaczniemy się bawić tworząc ich różne kombinacje? Okazuje się, że otrzymamy oscylacje i wybuchy. Kiedyś matematycy musieli dochodzić do tego wniosku ręcznie, dziś mamy komputery. Więc i ja się komputerem posłużę by wprowadzić Was w ten dziwny oscylująco-wybuchowy świat. Wyjdziemy z naszej podróży mając koszyk pełen funkcji: cos, sin, exp, sinh i cosh. I to za frajer. Przydadzą się nam dalej do zrozumienia o co mogło chodzić księdzu Michałowi Hellerowi w „początku który jest wszędzie”.
Najpierw, by od czegoś zacząć poleciłem mojemu komputerowi rysować kolejno wykresy funkcji
1-x2/2!
1-x2/2!+x4/4!
1-x2/2!+x4/4!-x6/6!
1-x2/2!+x4/4!-x6/6!+x8/8!
I tak aż do x16/16!. Wybrałem więc tylko potęgi parzyste i przeplatałem znaki. Raz odjąć, raz dodać. Umieściłem te wszystkie wykresy na jednym rysunku i wybrałem wspólny dla wszystkich zakres zmienności x-a: od -3.1415 do +6.283. Te co się kończą członem z minusikiem narysowałem na czerwono, a te co się kończą członem z plusikiem, na niebiesko. Do wyższych potęg x-a nie szedłem, bo wykresy zaczęły nakładać się jeden na drugi. W rozdzielczości ekranu i wybranym przeze mnie przedziale zmienności x-a wykresy stawały się nierozróżnialne jeden od drugiego. O dziwo, stały się też nieodróżnialne od wykresu funkcji cos(x) – ten narysowałem linią grubą. Popatrzmy:
Z kolejnych potęg i silni, gdzie tylko znak oscyluje, powstaje znana nam z teorii oscylacji i trygonometrii okresowa funkcja cosinus! Funkcja o okresie 2p... Skąd p się tu bierze? Skąd z naturalnych potęg i silni zaraz jakieś niewymierne p? Zagadka. Dziwna jest ta matematyka! Zaprzestałem na x16 także z innego powodu: komputer musi podnosić do coraz wyższej potęgi i dzielić przez coraz większe liczby. Robiąc to komputer popełnia coraz większe błędy – może produkować artefakty. Komputer zatem służyć nam może tylko jako wskazówka. To, że nasz ciąg funkcji naprawdę coraz bardziej przybliża znaną nam funkcję cosinus dowodzi matematyk posługując się „rachunkiem nieskończenie małych”. Jako wskazówka i ilustracja komputer jest jednak nieoceniony! Pomaga nam poczuć to, co się dzieje w świecie Platona, świecie zamieszkiwanym przez figury i „obiekty matematyczne”.
Zachęcony tym wynikiem poleciłem komputerowi zająć się tylko potęgami nieparzystymi, czyli narysować, podobnie jak poprzednio, wykresy funkcji:
x
x-x3/3!
x-x3/3!+x5/5!
x-x3/3!+x5/5!-x7/7!
I tak aż do x15/15!. I co wyszło? Oto co wyszło:
Czym więcej wyrazów naszego szeregu (bo szeregiem się to nazywa) bierzemy, tym bardziej stają się nasze wielomiany nieodróżnialne od periodycznej, oscylującej funkcji sinus.
No świetnie, ale czemu opuszczać a to parzyste, a to nieparzyste potęgi? Czemu zmieniać znaki? A co jeśli po prostu połączymy potęgi i silnie i wszystko razem dodamy? Oto odpowiedź z komputera
Nasz szereg, jak się okazuje, przybliża funkcję znaną pod nazwą „funkcja eksponencjalna”, zapisywana czasem jako ex, a czasem jako exp(x). Nic nie jest tu oscylujące. Mamy raczej wybuch! Nota bene: kiedy to piszę, zagrzmiało – przyszła burza. Piorun walnął tuż obok. Nie żartuję!
A co, jeśli jednak pozmieniamy znaki? Oto wynik
Jest to nic innego niż funkcja exp(-x). Miast eksponencjalnego wzrostu mamy tu eksponencjalny zanik! Burza przeszła, grzmi już tylko gdzieś daleko.
Wreszcie, by nie zostawić na naszych szeregach suchej nitki, możemy jeszcze utworzyć dwie nowe funkcje: (exp(x)+exp(-x))/2 oraz (exp(x)-exp(-x))/2. W pierwszej zniosą się potęgi nieparzyste, w drugiej zniosą się potęgi parzyste.
Pierwsza nazywa się cosinusem hiperbolicznym, druga sinusem hiperbolicznym. A w radio właśnie odchodzi mój ulubiony: Chopin Frédéric, Concerto pour piano et orch. N° 1 op. 11. Też dodawanie: (fortepian+orkiestra)/2.
A co będzie dalej? Ano zajmiemy się, jak co bieglejsi w piśmie przewidzieli, podstawieniem za x macierzy „ti” (rzeczywista liczba t razy 'urojona' macierz i) by zobaczyć co wyjdzie, oraz by posunąć się do przodu ze zrozumieniem „początku, który jest wszędzie”. W końcu wiemy jak t oraz i podnosić do potęgi oraz dodawać, nieprawdaż?
Zadanie domowe: Kto jest autorem tego wiersza o czasie cyklicznym?
Nauczyli mnie mnóstwa mądrości,
Logarytmów, wzorów i formułek,
Z kwadracików, trójkącików i kółek
Nauczali mnie nieskończoności.
Rozprawiali o "cudach przyrody",
Oglądałem różne tajemnice:
W jednym szkiełku "życie w kropli wody",
W innym zaś - "kanały na księżycu".
Mam tej wiedzy zapas nieskończony;
2piR i H2S04,
Jabłka, lampy, Crookesy i Newtony,
Azot, wodór, zmiany atmosfery.
Wiem o kuli, napełnionej lodem,
O bursztynie, gdy się go pociera...
Wiem, że ciało pogrążone w wodę
Traci tyle, ile... etcetera.
Ach, wiem jeszcze, że na drugiej półkuli
Słońce świeci, gdy u nas jest ciemno!
Różne rzeczy do głowy mi wkuli,
Tumanili nauką daremną.
I nic nie wiem, i nic nie rozumiem,
I wciąż wierzę biednymi zmysłami,
Że ci ludzie na drugiej półkuli
Muszą chodzić do góry nogami.
I do dziś mam taką szkolną trwogę:
Bóg mnie wyrwie - a stanę bez słowa!
- Panie Boże! Odpowiadać nie mogę,
Ja... wymawiam się, mnie boli głowa...
Trudna lekcja. Nie mogłem od razu.
Lecz nauczę się... po pewnym czasie...
Proszę! Zostaw mnie na drugie życie
Jak na drugi rok w tej samej klasie.
Specjalny dodatek dla pi(er)
