Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
1880
BLOG

Czy można zatrzymać czas?

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Kultura Obserwuj notkę 4

Są tacy co mówią, że dla fotonu czas praktycznie staje. Początek, czy koniec drogi, nie ma znaczenia – są w jednej „chwili”. Trudno by nam było to sobie wyobrazić bez pomocy matematyki. A może nie tak trudno? Zachodnia cywilizacja przyzwyczaiła nas do czasu liniowego, do pospiechu, by „zdążyć na czas”. A i tak nie zdążymy. Czas nas pokona. Cywilizacje pierwotne i wschodnie miały inne o czasie pojęcie. Ludzie ci nie martwili się tak jak my o zeszłoroczny śnieg, nie byli obciążeni ideą „grzechu pierworodnego” oraz myślami o początku i o końcu świata. Żyli, a wielu żyje nadal, tym co „teraz”. I my czasami tęsknimy za takim błogostanem niewinności, znanym dzieciom i mistykom obcującym z nieskończonością.


Gdy byłem dzieckiem, no nie tyle dzieckiem ale chłopcem, mój starszy brat, Michał, studiował elektronikę. Kiedyś wpadła mi w ręce jedna z jego książek. Były to tablice funkcji matematycznych, w dodatku po rosyjsku. Nic z tego nie rozumiałem, więc interesowały mnie wyłącznie obrazki. Jeden z obrazków w tej książce ukształtował chyba moje przyszłe zainteresowania. A był to ten obrazek:


Funkcja Jacobiego

Odkąd go zobaczyłem, nie mógł mi się jakos nigdy wymazać z pamięci. Marzyłem o tym, by zamieszkać w mieście z takimi wieżami – a były to wieże, jak sie znacznie później dowiedziałem, funkcji Jacobiego stojące na Płaskowyżu Liczb Zespolonych.

Dziś wszak mamy w planie zakończenie naszej wizyty w niegościnnym Wąwozie Liczb Eksplodujących. Dowiemy się czemu Andrei Khrennikov nazwał je liczbami hiperbolicznymi. Zahaczymy też przy okazji, może przypadkiem a może nie, o fotony. Przypomnę, że w odróżnieniu od liczb zespolonych, tych o symetrii

 

[ x y]

[-y x]

liczby eksplodujące mają banalniejszą symetrię

[ x y]

[ y x]


Głównym reprezentatem jest liczba j przedstawiana macierzą:

[ 0 1]

[ 1 0]

o kwadracie równym I. Dowolną liczbę eksplodującą możemy przedstawić jako sumę xI + yj, gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi. Każdą liczbę eksplodującą możemy zatem przedstawić na płaskiej mapie podając jej „długość geograficzną” x oraz „szerokość geograficzną y”. Całkiem tak, jak to było z liczbami zespolonymi.

Podobnie jak to było z liczbami zespolonymi każda liczba eksplodująca ma „braciszka” - lustrzane odbicie w osi rzeczywistej, przy czym przejście od liczby do jej bliźniaka po drugiej stronie osi rzeczywistej oznaczamy też gwiazdką, np:

*: 2-3j ------> 2+3j

Macierz

[ x y]

[ y x]

przechodzi w

[ x -y]

[-y x]

lub: (x+yj)* = x-yj

Jeśli h jest liczbą eksplodującą, to podobnie jak to było z liczbami zespolonymi, mamy

h**=h

Stąd

h***=h*

itd.

Podobnie jak to było z liczbami zespolonymi mamy:

Sprzężenie iloczynu równa się iloczynowi sprzężeń!

Symbolicznie: dla dowolnych dwóch liczb eksplodujących mamy:

(h1h2)* = (h2*)(h1*) = (h1*)(h2*)

Podobnie jak to było dla liczb zespolonych, mamy

Iloczyn liczby zespolonej przez swoją sprzężoną leży zawsze na osi rzeczywistej

Możemy to łatwo sprawdzić:

(a+bj)(a-bj) = a2-b2 +(ab-ba)j=a2-b2

Teraz jednak nie musi to być liczba nieujemna. Dla liczb zespolonych mieliśmy sumę kwadratów a tu wychodzi różnica!

Jeśli h jest liczbą eksplodujacą, to liczbę rzeczywistą h razy h* możemy oznaczyć symbolem ||h||2. Nazywamy to czasem „kwadratem modułu liczby h” lub „kwadratem długości liczby h” lub „kwadratem normy liczby h”.

Jeśli h =x + yj to ||h||2= x2 - y2

Tym razem jednak takie nazewnictwo jest bardzo niebezpieczne, bowiem x2 – y2 może być też ujemne i wtedy nie jest kwadratem żadnej liczby rzeczywistej!

Dla liczb zespolonych rysowaliśmy na mapie wszystkie liczby o długości równej 1. Wyszedł nam okrąg. Tym razem musimy być ostrożniejsi. Bowiem, jeśli chcemy już rysować odpowiednik okręgu o promieniu równym 1, to musimy rozważyć dwie możliwości: x2 – y2 = 1, oraz x2 – y2 = -1. Jeśli x2 – y2 = 1, to y2 = x2 -1, skąd mamy

y=Pierwiastek kwadratowy ( x2 -1)

lub

y = -Pierwiastek kwadratowy ( x2 -1)

Jeśli zaś x2 – y2 = -1, to y2 = x2 +1, skąd mamy

y = Pierwiastek kwadratowy ( x2 +1)

lub

y = -Pierwiastek kwadratowy ( x2 +1)

Nasz zespolony okrąg przeszedł zatem w coś, co ma cztery gałęzie! Na wykresie poniżej pokazałem tylko dwie gałęzie, te z x2 – y2 = -1. Dwie pozostałe wyglądałyby podobnie, tyle, że przekręcone o 90 stopni.

 

Hiperbola

 

Czyż nie wygląda to podobnie do rysunków z książkach o szczególnej teorii względności? Wziąłem taki jeden rysunek z książki „Einstein's Theory of Relativity” Maxa Borna:

 

Teoria względności

 

Czyż nie wygląda podobnie? To co my oznaczyliśmy (bardzo to niebezpieczne oznaczenie) jako

||x + yj||2

Born oznacza literką F, zaś zamiast naszego y jest tam ct, gdzie t jest „czasem” zaś c prędkością światła. Pewnie przypadkowe podobieństwo, nieprawdaż? A może nie takie znów przypadkowe?

Tak czy siak nasze gałęzie to hiperbole, a hiperbole, miast chodzić po kole umykają w nieskończoność. Dlatego Andrei nazwał te swoje liczby liczbami hiperbolicznymi a ja, użyłem bardziej poetyckiej nazwy: „liczby eksplodujące” - jako, że przez analogię z teorią względności dochodzą, po stycznej, do prędkości światła.


A teraz, skoro znamy już Wąwóz Liczb Zespolonych i Wąwóz Liczb rzeczywistych, możemy się pokusić o przedstawienie obydwu na jednej mapie. Rozważymy mianowicie macierze postaci

x+yi+zj

Potrzebne nam wię będą trzy współrzędne x,y,z. X będzie reprezentowało część rzeczywistą naszej „liczby”, y – część urojona, zaś z – część eksplodującą. Mapa będzie więc przestrzenna. Gdy y=z=0 – mamy oś rzeczywistą. Gdy z=0, mamy liczby zespolone, gdy y=0, mamy liczby eksplodujące. Płaszczyzny liczb zespolonych i liczb eksplodujących przecinają się właśnie na osi rzeczywistej. Na trójwymiarowej mapie wygląda to tak:

 

Mapa trójwymiarowa

 

No to się pobawiliśmy. Czy jest to jednak tylko zabawa? Czy też może jest w tej całej matematyce cos więcej, jakaś rzeczywistość? Dla znających język angielski przytoczę fragment wywiadu Kena Wilbera – można ten wywiad znaleźć w witrynie, która także nazywa się Salon:

So where does God fit into this picture? Do you believe in God?

God is a perfect example of how these two types of religion treat ultimate reality. You asked, "Do you believe in God?" In exoteric religion, it's a matter of belief. Do you believe in the kind of God who rewards and punishes and will sit with you in some eternal heaven? But in the esoteric form of religion, God is a direct experience. Most contemplatives would call it "godhead." It's so different from the mythic conceptions of God -- the old man in the sky with a gray beard. The word "God" is much more misleading than it is accurate. So there's a whole series of terms that are used instead by the esoteric traditions -- super-consciousness, Big Mind, Big Self. This ultimate reality is a direct union that is felt or recognized in a state of enlightenment or liberation. It's what the Sufis call the "supreme identity," the identity of the interior soul with the ultimate ground of being in a direct experiential state.

It does raise the question of whether God -- or ultimate reality -- has some independent existence, or whether this is just a mental state that our minds can conjure up.

That's right. One way we try to find out is by doing cross-cultural studies of individuals who've had the experience of the supreme identity and see if it shows similar characteristics. The most similar characteristic is it doesn't have characteristics. It's radically undefinable, radically free, radically empty. This formless ground of being is found in virtually all esoteric religions around the world. For the final test, take scientists with a Ph.D. who are studying brain patterns and put them in a contemplative state of the supreme identity and ask them whether they think that state is real or just a brain state. Nine out of 10 will say they think it's real. They think this experience discloses a reality that's independent of the human organism.

 

Nie, żebym się zaraz we wszystkim z Kenem Wilberem zgadzał, jednak wywiad jest interesujący. Tak twierdzi przynajmniej mój Ko Liber:

 

Koliber?

 Ana koniec, jako że dziś niedziela, i żeby nie było, że tylko diabłu daję ogarek:

 

Thank you God
 

 

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Kultura