Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
442
BLOG

Magiczne zwierciadło

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Kultura Obserwuj notkę 20

Z jakiegoś tajemniczego powodu rzeczy w naszym wszechświecie chodzą parami. Liczby naturalne 0,1,2,3,.... były najpierw bez par. Dobrały sobie do pary liczby ujemne 0,-1,-2,-3,.... - ich odbicie. Zero jest dziwne, specjalne, bo jest odbiciem samo dla siebie -0=0.

Poznaliśmy liczby zespolone. To tabelki – macierze o szczególnej symetrii-antysymetrii:

[ x y]

[-y x]

np. gdy x = 2, y = -3, dostajemy

[ 2 -3]

[ 3 2]

Liczbę tą zapisujemy w skrócie

2I - 3i

lub, pomijając domyślne I, po prostu jako 2-3i. Liczba 2 nazywa się częścią rzeczywistą, zaś liczba -3 częścią urojoną liczby zespolonej (macierzy) 2-3i. Na takiej liczbie – macierzy też możemy dokonać odbicia szczególnego rodzaju: zmienić znak części urojonej:

2-3i ------> 2+3i

Inny przykład:

7+5i ------> 7-5i

Część rzeczywistą zostawiamy jak była, w częśi urojonej zmieniamy znak na przeciwny – odbijamy względem zera. Ogólnie nasz reguła odbijania jest taka

[ x y]

[-y x]

przechodzi w

[ x -y]

[ y x]

lub: x+yi ----> x-yi

Taką operację odbicia liczb zespolonych nazywamy sprzężeniem zespolonym. Jeśli z jest liczbą zespoloną z=x+iy, to liczbę do niej sprzężoną, x-iy oznaczamy zwykle przez z, ale z kreseczką nad z. Ciężko jest wszak stawiać kreseczki nad literami, klawiatura komputera i kody liczbowe nie dają takiej możliwości. Dlatego będę używał zastępczo gwiazdki – też jej matematycy do tego celu czasem używają. Zatem

z=x+iy, z*=x-iy.

Przykłady:

(1-i)*=1+i, i*=-1, 1*=1, 0*=0

Zauważmy, że jak dwa razy zmienimy znak na przeciwny, to te dwie zmiany się kasują: minus razy minus jest plus. Możemy więc napisać:

z**=z

Stąd

z***=z*

Przypomnijmy, że i do kwadratu to -1 (ściślej: i do kwadratu to -I). Pozwala nam to na łatwe mnożenie liczb zespolonych bez uciekania się do ich oryginalnej postaci jako macierzy

(1+2i)(3-i)= (3+2)+(6-1)i=5+5i

Sprawdźcie!!! Może Ark się znów pomylił?

Są zatem dwie metody mnożenia przez siebie liczb zespolonych:

  1. przedstawić liczby zespolone jako macierze 2x2 i mnożyć macierze regułką wiersz razy kolumna, jak to już wyjaśniliśmy wcześniej

  2. pójść na skróty i korzystać po prostu z tego, że i do kwadratu to -1.

Obydwie metody prowadzą do tego samego wyniku. Przedstawianie liczb zespolonych ma tą zaletę, że liczby zespolone to konkretne tabelki zwykłych liczb, tyle, że ze specyficzna reguła mnożenia jednej tabelki przez drugą. Kiedy już jednak mamy świadomość tego, co się kryje za symbolem i, wtedy wygodniej jest korzystać z metody 2. I tak sie zwykle robi.

A teraz niespodzianka 1:

Sprzężenie iloczynu równa się iloczynowi sprzężeń!

Symbolicznie: dla dowolnych dwóch liczb zespolonych mamy:

(z1z2)* = (z2*)(z1*) = (z1*)(z2*)

Możemy to sprawdzić. Weźmy

z1 = a+bi, z2 = c+di

Wtedy

z1z2 = (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

(z1z2)* = (ac-bd) – (ad+bc)i

(z1)* = a-bi, (z2 )* = c-di

(z1)*(z2)* = (a-bi)(c-di) = (ac+bd) – (ad+bc)i

Wykonajcie te mnożenia sami i sprawdźcie, że równość wynika z faktu, że minus razy minus to plus!

Niespodzianka 2:

Iloczyn liczby zespolonej przez swoją sprzężoną leży zawsze na osi rzeczywistej i jest liczbą nieujemną.

Możemy to łatwo sprawdzić:

(a+bi)(a-bi) = a2+b2 +(ab-ba)i=a2+b2

a suma dwóch kwadratów liczb rzeczywistych jest zawsze liczbą dodatnią, chyba, że obie są zerami, wtedy wynik jest zerem.

Jeśli z jest liczbą zespoloną, to liczbę nieujemną z razy z* oznaczamy symbolem ||z||2 i nazywamy czasem „kwadratem modułu liczby z” lub „kwadratem długości liczby z” lub „kwadratem normy liczby z”.

Jeśli z =x + yi to ||z||2= x2 + y2

A oto obrazek przedstawiający kilka liczb zespolonych i ich sprzężenia zespolone. Na obrazku użyłem kreski nad literką zamiast gwiazdki, jak to powyżej w tekście nieobrazkowym. Widać, że sprzężenie zespolone to odbicie tej liczby w zwierciadle wody, zwierciadłem tym jest oś rzeczywista.

Sprzężenie zespolone

Możemy teraz przedstawić wszystkie liczby zespolone o „długości” równej jeden. Układaja się na okręgu! W naszym języku ten okrąg opisuje proste równanie:

zz*=z*z=1

Dlaczego napisałem zz*=z*z? Bo mnożenie liczb zespolonych jest przemienne! Chciałem ten fakt przypomnieć.

A oto obrazek tego okręgu w Wąwozie liczb zespolonych.

 

Okrąg liczb zespolonych o module 1

 

W środku okregu jest liczba zero:

0I+0i

Ta liczba jest przecięciem osi rzeczywistej i osi urojonej. To jedyna liczba, która jest zarazem rzeczywista (bo ma część urojoną zero) i urojona (bo ma część rzeczywistą zero).

Fakt, że otrzymaliśmy okrąg, czyli cykliczność ma wręcz niesamowite konsekwencje. W mechanice kwantowej odpowiada za to, co nazywamy, zresztą nieporęcznie, „interferencją prawdopodobieństw”, za widma atomów, splątania kwantowe, dualność fala-cząstka itd. itd.

Jutro zrobimy to samo dla liczb eksplodujących – zobaczymy co nam wyjdzie. Zamiast okręgu dostaniemy co? W dodatku popatrzymy z lotu ptaka, by liczby zespolone i liczby eksplodujące przedstawić na jednym rysunku – trójwymiarowym. Zaś na podnoszenie do potęgi, która jest macierzą – przyjdzie czas dopiero potem. Wszystko ma swój czas:


Wszystko ma swój czas,
i jest wyznaczona godzina na wszystkie sprawy pod niebem:
Jest czas rodzenia i czas umierania,
czas sadzenia i czas wyrywania tego, co zasądzono,
czas zabijania i czas leczenia,
czas burzenia i czas budowania,
czas płaczu i czas śmiechu,
czas zawodzenia i czas pląsów,
czas rzucania kamieni i czas ich zbierania,
czas pieszczot cielesnych i czas wstrzymywania się od nich,
czas szukania i czas tracenia,
czas zachowania i czas wyrzucania,
czas rozdzierania i czas zszywania,
czas milczenia i czas mówienia,
czas miłowania i czas nienawiści,
czas wojny i czas pokoju.

(Księga Koheleta 3.1-8)





 

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Kultura