Zaczęło trochę padać, skały są śliskie, no i pozimniało. Wiadomo – globalne ocieplenie! Wyprawę do Wąwozu Liczb Eksplodujących odłożymy zatem, przypuszczalnie na jutro, tak przynajmniej twierdzi pogodynka. Chyba, że się rozpogodzi wcześniej. Może to i dobrze, bo zebrało sie trochę pytań i wątpliwości, możemy zatem spróbować je wyjaśnić. Jeśli mi sie uda, to na wspólna wyprawę będzie się szło raźniej, bo nasze sumienia nie będą obciążone tym, że cos zostało niedopowiedziane, że coś wisi w powietrzu.
Zacznę od obserwacji Kathrinny , która napisała:
Ciekawe są te liczby urojone, a jeszcze ciekawsze zespolone, które łączą liczby rzeczywiste z liczbami urojonymi... Dwa światy, jak świat zewnętrzny i wewnętrzny, rzeczywisty i nierzeczywisty. Czy liczby urojone nie należą do zbioru liczb rzeczywistych? A zespolone (ale liczba zespolona nie jest liczbą tylko macierzą...) Zadanie domowe: z3 i z4 wyglądają na zespolone. Nie rozumiem, czemu introwertywna Małgosia i introwertywny Jaś wyglądają jak wyglądają, coś pisałeś wcześniej o Jasiu, którego otoczeniem jest Jaś, ale o introwertyźmie chyba nie?
Zacznijmy od „Ciekawe są te liczby urojone, a jeszcze ciekawsze zespolone, które łączą liczby rzeczywiste z liczbami urojonymi... „
Byłoby z mojej strony nietaktem, gdybym opuścił tak zwaną graficzną reprezentację liczb zespolonych. Do tego potrzebny mi będzie obrazek. Pod obrazkiem nastąpi jego opis. Ale najpierw wstęp do obrazka z prymitywnymi matryczkami, które moge zasymulować zwykłym tekstem.
Przyjęliśmy, że liczby zespolone to po prostu macierze o dwu wierszach i dwu kolumnach o szczególnej symetryczno-antysymetrycznej urodzie, postaci
[ x y]
[-y x]
gdzie x i y są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Kiedy mówię, że są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to mogą, w szczególności, być po prostu zerem. Może x być zerem a y różne
od zera, np. x=0, y=2. Mamy wtedy
[ 0 2]
[-2 0]
Ta macierz to nic innego 2i . Może ybyć zerem, zaś xróżne od zera, np. x=-1.7 . Mamy wtedy
[-1.7 0 ]
[0 -1.7]
Ta macierz, to nic innego niż -1.7I. Mogą też obie być zerami x=0, y=0 . Ponieważ -0=0,
otrzymujemy macierz zerową:
[0 0]
[0 0]
Wszystkie te powyższe macierze są typu SA. Są liczbami zespolonymi. Zauważcie, że użyłem symboli x,y. W poprzednich wpisach używałem symboli a,b. Nie ma to znaczenia, zarówno a,b jak i x,y są po prostu symbolami dowolnej liczby rzeczywistej. Mógłbym, gdybym chciał, użyć literek ś,Ź. Tym razem jednak użyłem x i y z wyrachowania, bo wiem jak się uczy w szkołach. W szkołach zazwyczaj x to oś pozioma a y to oś pionowa. Dlaczego? Pojęcia nie mam, ale tak jest. To przyzwyczajenie i idące za nim skojarzenia za chwilę wykorzystam.
Macierz SA jest określona przez parę liczb rzeczywistych. Jedna to x – powtarza się na głównej przekątnej:
[ x ]
[ x]
Druga to y, powtarza się na anty-przekątnej, z odwróceniem
[ y]
[-y ]
Możemy te dwie liczby potraktować jako współrzędne liczby zespolonej
[ x y]
[-y x]
Jeśli oznaczymy tą macierz (liczbę zespoloną) literką z, to x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej (macierzy SA) z, zaś y nazywamy częścią rzeczywistą z-ta. Piszemy też: x = Im(z), y=Re(z). Macierze (liczby zespolone), które mają współrzędną x równą zeru (na zerowym południku) nazywają się liczbami urojonymi. Zamiast mówić „zerowy południk” mówimy „os urojona”. Zamiast mówić „równik” (macierze o współrzędnej y rónej zeru) – mówimy „oś rzeczywista”. Na mapie przedstawiającej liczby zespolone. Oto mapa Wąwozu Liczb Zespolonych wraz z kilkoma liczbami zespolonymi które ten wąwóz zamieszkują.
Och, wypogodziło się. Możemy wyruszać w podróż do wąwozu liczb eksplodujących. Zanim tam się wybierzemy, najpierw parę wyjaśnień
Wąwóz Liczb Zespolonych zamieszkiwany jest przez macierze symetryczno-antysymetryczne (SA), postaci
[ a b]
[-b a]
Gdy b staje się zerem, otrzymujemy po prostu:
[ a 0]
[ 0 a ]
czyli aI. Macierze tej postaci zachowują się, ze względu na działania na macierzach, tak samo jak zwykle liczby rzeczywiste a. Najprostszym przykładem jest po prostu macierz-Identyczność, I, gdy a=1:
[ 1 0]
[ 0 1]
Mieszka tam również, jak już o tym mówiliśmy, macierz i, gdy a=0, zaś b=1:
[ 0 1]
[-1 0]
Do Wąwozu Liczb Zespolonych przylega inny wąwóz, wąwóz zamieszkiwany przez macierze symetryczno-symetryczne (SS). Te mają postać:
[ a b]
[ b a]
Gdy b jest zerem, wtedy b=-b i nie ma różnicy pomiędzy SA i SS. Macierze postaci
[ a 0]
[ 0 a ]
leżą więc na wspólnej granicy SA i SS i oddzielają od siebie wnętrza tych dwóch wąwozów. Jest to grań liczb rzeczywistych. A co jest w środku SA? Znakomitym przedstawicielem Wąwozu Liczb Eksplodujących jest macierz
[ 0 1]
[ 1 0]
Ta doczekała się nawet specjalnego imienia: oznacza się ją czasem literką „ j ”. Dlaczego tylko „czasem”? Ano dlatego, że mało kto ma odwagę zapuszczać się do tego wąwozu, więc geografowie nie są zgodni nawet co do tego, czy w ogóle warto umieszczać go na mapach.
I my nie będziemy się tam zapuszczać, zbyt niebezpiecznie, zwłaszcza w nocy.
Ponadto, podobno, obozuje tam i eksperymentuje wojsko. Ja sam, przyznam się szczerze, tam się nie zapuszczałem, znam ten wąwóz tylko z opowieści nieustraszonego podróżnika, którego Wam teraz pokrótce przedstawię.
Andrei Kherennikov
doktoryzował się na Uniwersytecie Moskiewskim a habilitował w r. 1989 w Instytucie Matematycznym im. Steklova. Od roku 1997 jest na stanowisku professora na Wydziale Matematyki, Statystyki i Nauk Informatycznych Uniwersytetu w Växjö, Szwecja. Jest autorem ponad setki publikacji naukowych i czterech monografii. (Z przyjemnością donoszę, że jest także członkiem korespondującym Centrum CAIROS w Tuluzie.) Od szeregu lat zajmuje się „dziwnymi” zastosowaniami i rozszerzeniami mechaniki kwantowej. Jego oryginalnymi ideami i wynikami interesują się specjaliści od prawdopodobieństwa, od rynków finansowych [1], od świadomości 2-5], fizycy [6], a także, jakżeby inaczej, wojsko [7]. Współpracują z nim doświadczalnicy różnej maści. Ostatnie wyniki zdają się wskazywać na rolę metod znanych skądinąd z fizyki mikroświata w procesach świadomego rozpoznawania symboli i kontekstualizacji. Nas jednak interesuję przygody Andreia w Wąwozie Liczb Eksplodujących. Andrei ma dla nich swoją nazwę, nazwał je liczbami hiperbolicznymi. Gdybyśmy poszli w ślady jego idei, to znane nam już liczby zespolone trzeba było by nazwać „liczbami okrągłymi”! Pozostaniemy zatem przy naszej prywatnej terminologii (uwaga: to mój wymysł, nikt inny ich tak nie nazywa!) - liczby eksplodujące. Andrei rozwinął analogię standardowego formalizmu kwantowego w którym urojoneizastąpił eksplodującymj. I tak praca p.t. „Reprezentacja kontekstualnego modelu statystycznego przez amplitudy hiperboliczne” [5] kończy się następującym zdaniem: „Być może układy rozpoznające (ang. Cognitive) moga prowadzić do hiperbolicznej interferencji i winny być opisywane hiperboliczną mechaniką kwantową.”
Pozostaje mi do wyjaśnienia czemu nazwałem hiperboliczne liczby Khrennikova liczbami eksplodujacymi. Bierze się to z własności macierz j. Podzcas gdy dla jednostki urojonej i, kiedy podnosimy ja do kolejnych mamy oscylacje pomiędzy plusami i minusami:
i2 = -1, i3 = -i, i4= 1, i5= i, i6= -1, i7= -i, i8= 1, ....
to dla jednostki hiperbolicznej j mamy banalne
j2 = 1, j3 = j, j4= 1, j5= j, j6= 1, j7= j, j8= 1, ....
Cdn.
Literatura:
[1] A. Khrennikov, „Classical and quantum randomness and the financial market”
[2] Elio Conte, Orlando Todarello, Antonio Federici, Francesco Vitiello, Michele Lopane, Andrei Khrennikov, Joseph P. Zbilut, „Some Remarks on an Experiment Suggesting Quantum Like Behavior of Cognitive Entities and Formulation of an Abstract Quantum Mechanical Formalism to Describe Cognitive Entity and its Dynamics”
[3] Elio Conte, Andrei Yuri Khrennikov, Orlando Todarello, Antonio Federici, Joseph P. Zbilut, „A Conclusive Experimentation Evidences that Mental States Follow Quantum Mechanics. Further Experimentation Indicates that in Mind States Bell Inequality Violation is Possible”
[4] A. Khrennikov, „A model of quantum-like decision-making with applications to psychology and cognitive science”
[5] A. Khrennikov, „Representation of the contextual statistical model by hyperbolic amplitudes”
[6] A. Khrennikov, „Von Neumann Uniqueness Theorem doesn't hold in Hyperbolic Quantum Mechanics”
[7] A. Khrennikov, „Quantum mechanics for military officers”
