Kiedy przedzieramy się przez dżunglę, kiedy prowadzi nas przewodnik, jesteśmy w dużym stopniu zdani na jego łaskę. Nawet wtedy, gdy przewodnik jest przyjazny i na pozór spolegliwy
dobrze jest od czasu do czasu popatrzeć na mapę i zobaczyć na niej gdzie w danej chwili jesteśmy
Tak i my zrobimy. Patrząc na mapę powyżej, jesteśmy gdzieś w okolicach Przylądka Dobrej Nadziei a przed nami jest Strefa wysokich fal.
A tak na serio? Tak na serio, to doszliśmy, na skróty, do strony piątej pracy Hellera i Sasina. A konkretnie do tego miejsca:
Mapa powyżej jest nieco zamazana (będę o tym pisał na końcu mojego cyklu, biorąc pod uwagę komentarze Czytelników do mojego „Jestem w kropce”), dlatego lepiej popatrzeć na oryginał, tzn. na mapę sporządzoną przez Alain Connes'a (czyt. Alana Kona). Oto ona:
(W drugiej linijce opuściłem jeden nawias, ale już nie będę poprawiał rysunku, wybaczycie?)
Mapa ta napisana jest dziwnym arabskim językiem, przetłumaczę więc jej elementy „na nasze”. To tak, dla ogólnej orientacji. Może się przydać, gdyby ktoś z Was zechciał opuścić wycieczkę prowadzoną i udać się z tego miejsca w podróż na własne ryzyko.
Widzimy tu dwie formuły, jedna ma numerek (2), druga numerka nie ma. Ta druga jest podobna do pierwszej, choć trochę inna. Ale obie mówią to samo.
Zacznijmy od literki „x”, która się tam pojawia. Symbol „x” to dla nas punkt naszej przestrzeni E. W naszym przypadku jest to Małgosia, tak wybrałem. Mamy też symbol G ze znaczkiem x. W naszym przypadku to para punktów Grupoidu: MM, czyli (0,0) oraz JM czyli (1,1). Symbol gamma (bez znaczków) to jeden z tych właśnie punktów.
(Dla wtajemniczonych: G_x = {(y,g): yg = x})
Dalej, mamy grecką literkę „ksi”. W naszym przypadku ksi to byłby wektor-kolumienka:
[a]
[b]
złożona z dwóch liczb a i b. Nie pisałem o tych wektorach, bo były tylko potrzebne po drodze do wyliczenia naszych macierzy przedstawiających MM,MJ,JM,JJ.
Pojawia się też ważny symbol f. Zwykle przez f oznaczamy „funkcję” i tak też jest w naszym przypadku. Nasze f to funkcja na Grupoidzie. Ale, że nasz Grupoid ma tylko cztery punkty, cała funkcja to po prostu czwórka liczb a,b,c,d. Tą funkcję właśnie zapisywaliśmy w ostatnim wpisie jako
a.MM + b.MJ + c.JM + d.JJ
co jest tylko innym zapisem faktu, że f(MM) = a, f(MJ) = b, f(JM) = C, f(JJ) = d.
Dalej mamy „pi” ze znaczkiem „x” od f. Dla nas jest to macierz
[a b]
[c d]
przedstawiająca (na obrazku wyżej, jak sie dobrze mu przyjrzymy, możemy wynaleźć słowa „natural representation”) funkcję f. Symbol całki to dla nas suma dwóch składników. Pozostałe symbole można sobie darować, są bowiem istotne tylko dla wymyślniejszych grupoidów niż nasz Atom Działania. Są istotne jedynie dla grupoidów zbudowanych z nieskończonej (przeliczalnej lub nie) liczby Atomów.
Teraz, gdy mamy już jako taką orientację w naszym położeniu geograficznym, może wziąć kurs na strefę wysokich fal. W lewo na burtę!
Ślad.
Slad macierzy ma niezwykle ważną własność. Podczas gdy mnożenie macierzy jest nieprzemienne, AB to na ogól co innego niż BA, to ślad tą nieprzemienność zaciera:
Tr (AB) = Tr (BA)
Wynika stąd też „cykliczność śladu”:
Tr (ABC) = Tr (CAB) = Tr (BCA)
Podczas gdy macierze są tabelkami, ślad macierzy jest po prostu jedną liczbą. Jeśli macierz składa się z liczb rzeczywistych, to ślad tej macierzy jest liczbą rzeczywistą. Jeśli macierz składa się z liczb zespolonych (tzn. par: część rzeczywista i część urojona), wtedy ślad a+d jest też liczbą zespoloną. Ale kiedy macierz A jest „hermitowska”, tzn. gdy A = A*, wtedy na głównej przekątnej są liczby rzeczywiste i ślad, suma elementów na głównej przekątnej, jest też liczbą rzeczywistą.
W następnym odcinku wykorzystamy ślad do obliczania "wartości oczekiwanej" i „kata pomiędzy macierzami” . Nie będą to jeszcze wysokie fale, poczujemy już jednak małe kołysanie.
