Grupoid w szkole - powrót do Macierzy

Po dniu przerwy dziś przypomnienie tego, co już mamy za sobą. Będziemy odtąd wiele operować macierzami. Nasze macierze to nic innego niż tabelki z liczbami lub z symbolami reprezentującymi liczby. Po przypomnieniu tego, o czym już rozmawialiśmy pójdziemy troszkę dalej. Przypomnę dwie ważne operacje przyporządkowujące macierzom liczby. Jedna nazywa się „śladem macierzy” (po angielsku Trace, symbol Tr), druga to wyznacznik macierzy (ang. Determinant, symbol Det). Ślad będzie nam bardzo potrzebny. Bez niego ani rusz. Wyznacznik pojawi się tylko na chwilę a potem będziemy mogli o nim właściwie zapomnieć. Ślad będzie nam potrzebny do obliczania „kąta pomiędzy macierzami”. Tak, tak, kąta. Zobaczymy, że Jaś jest prostopadły do Małgosi a pewna kombinacja Jasia i Małgosi może być pod kątem 30 stopni do innej kombinacji Jasia i Małgosi.

Pojawi się też pojęcie „liczb zespolonych”. Jak ktoś nie wie co to są liczby zespolone, może zawsze albo poczytać w Wikipedii lub zapytać w uwagach. Mogę jednak pocieszyć, że przez pewien czas będziemy mogli ograniczyć się do liczb rzeczywistych. Po prostu wszędzie tam, gdzie będzie liczba zespolona można sobie myśleć, że jest to tylko zwykła liczba, taka jakie znamy ze szkoły, np. 3.75. A jak będzie kreseczka nad symbolem liczby, oznaczająca „sprzężenie zespolone”, można będzie sobie tą kreseczkę po prostu pominąć. Będzie tak jednak tylko ... do czasu. Tak, tak, kiedy dojdziemy do „upływu czasu”, wtedy bez liczb zespolonych byłoby naprawdę ciężko. Zobaczymy bowiem, że upływ czasu a'la Alain Connes (kopia u Michała Hellera) to nic innego niż oscylacja pomiędzy dwoma światami, światem rzeczywistym i światem urojonym. A świat rzeczywisty i świat urojony rozpinają razem coś, co możemy nazwać „światem zespolonym” - „superpozycją” świata rzeczywistego i świata urojonego. Oprócz świata rzeczywistego i świata urojonego pojawi się jeszcze jedna dualność, pojawi się „świat Alicji po drugiej stronie lustra”. Alicja po drugiej stronie lustra też będzie oscylować między swym światem rzeczywistym i urojonym, jednak będzie się to obywało w innym kierunku, czas będzie płynął u niej „odwrotnie do naszego”.

I jeszcze jedna uwaga wstępna: bez macierzy nie było by dzisiejszej mechaniki kwantowej, nie byłoby pewnie Heisenberga, zasady nieoznaczoności, z pewnością nie byłoby Einteina, bo cała jego szczególna i ogólna teoria względności to zabawy z macierzami (tensory to wielowymiarowe macierze), nie byłoby też elektrodynamiki kwantowej – tej dziwnej teorii światła i materii. Nie było by Penrose'a. Nie byłoby grafiki komputerowej. Czy byłoby to dobrze czy źle? Trudno, jak sądzę, powiedzieć. Są podręczniki mechaniki kwantowej unikające macierzy jak ognia. Są też inne, operujące tylko macierzami. A o równaniu Diraca i kwantowym opisie antymaterii bez macierzy nie byłoby nawet mowy!

Pytanie do Czytelnika: Czego jeszcze nie byłoby bez macierzy?

Zatem, bez macierzy ani rusz. Nie wszyscy jednak za macierzami będą mogli nadążyć, bo wymaga to wszak skupienia a nie zawsze mamy na to czas. W dodatku co dla jednych jest (czy będzie) rzeczą nową, dla innych będzie chlebem powszednim. Dlatego ciąg dalszy będzie szedł w dwóch nurtach. Nurt jeden, pisany tak jak to, co piszę teraz, będzie napisany językiem przystępnym, literackim – to byłoby zbyt pretensjonalne, w każdym razie nie wymagającym dodawania, odejmowania, mnożenia lub podnoszenia do potęgi.

Nurt drugi będzie na wstawkach oprawionych w ramkę, wstawkach z symbolami i z macierzami. Te wstawki będą tylko dla tych, którzy mają czas, ochotę i możliwości prześledzić i sprawdzić czy to co piszę językiem zwykłym nie mija się z prawdą, jak również powiązać to, co może być dla nich nowe z tym, co już wiedzą skądinąd.

Zatem, do dzieła. Zbudowaliśmy ze strzałek Grupoid Jasia i Małgosi. Mamy cztery strzałki:

MM,MJ,JM,JJ. Każdej strzałce przyporządkowaliśmy macierz, tak że składaniu strzałek odpowiada mnożenie macierzy. Każdemu elementowi grupoidu przyporządkowaliśmy „element odwrotny”.

Odwrotnością MM jest MM, odwrotnością JM jest MJ itd. Odwracaniu w grupoidzie odpowiada transponowanie macierz – odwracanie macierzy względem głównej przekątnej – tej z góry w dół i w prawo.

Jest to w istocie metoda Kartezjusza. Kartezjusz utworzył na płaszczyźnie siatkę z liczb i przyporządkował punktom płaszczyzny pary liczb – ich współrzędne (x,y). My przyporządkowaliśmy elementom Grupoidu czwórki liczb – elementy w oczkach naszych tabelek-macierzy.

Kiedy narysujemy na płaszczyźnie typową siatkę kartezjańską otrzymujemy kwadraciki. Ale punkty płaszczyzny mogą mieć współrzędne, które nie są po prostu wielokrotnościami rozmiarów oczek siatki. Mogą leżeć i w środku naszych kwadracików. Podobnie zrobimy i my. Wypełnimy nasz Grupoid „w środku” biorąc dowolne kombinacje MM,MJ,JM,JJ, np

Otrzymujemy w tens sposób „punkt” w czterowymiarowej przestrzeni rozpiętej przez nasze cztery strzałki. Punkt ten ma współrzędne kartezjańskie:

Jeden krok w kierunku Małgosia-Małgosia, minus 3.1 kroku w kierunku Jaś-Jaś, zero kroku w kierunku Jaś-Małgosia, minus 3.1415 kroku w kierunku Małgosia-Jaś.

Te współczynniki przy MM,JM,MJ,JJ będą mogły być także liczbami zespolonymi (tzn. mieć część rzeczywistą i urojoną), ale to na razie nie będzie ważne.

Biorąc wszystkie takie możliwe kombinacje otrzymamy wszystkie możliwe macierze 2x2. A macierze tworzą algebrę: możemy je dodawać do siebie, mnożyć przez siebie, mnożyć macierz przez liczbę, nawet „transponować”. Jeśli zaś w oczkach macierzy stoją liczby zespolone, możemy też wziąć sprzężenie zespolone macierzy. Macierz przetransponowana (odwrócenie względem głównej przekątnej) oraz zespolenie sprzężona (tzn. zamiana znaku części urojonej elementów macierzy) nazywa się macierzą hermitowsko sprzężoną. Sprzężenie hermitowskie oznaczam gwiazdką. Macierz hermitowsko sprzężoną do macierzy A oznaczamy przez A*.

I od tej pory, odkąd przeszliśmy od grupoidu do macierzy, możemy o Grupoidzie wyjściowym zapomnieć, nie będzie nam potrzebny. Pozostanie nam jedynie w głowie mętne wspomnienie, że mnożenie macierzy miało coś wspólnego ze składaniem ze sobą strzałek, z przestrzenią, z transformacjami. Napiszę o tym trochę dokładniej, gdy przystąpię do komentowania pracy Hellera i Sasina. Ale to będzie na samym końcu naszej przygody.