Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
300
BLOG

Grupoid w przedszkolu i atom działania

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Kultura Obserwuj notkę 6

Najpierw potrzebna nam Przestrzeń. Przestrzeń będziecie tworzyć wy, Jasiu i Małgosiu. Nietrywialna przestrzeń musi mieć co najmniej dwa punkty i tymi punktami będziecie wy. Ty, Małgosiu, będziesz punktem oznaczonym symbolem 0. Ty zaś Jasiu, tobie przypiszę symbol 1. Nasza przestrzeń składa się zatem z dwóch punktów, zera i jedynki, tak jak BIT.


0 1


Ale w takiej przestrzeni nic się jeszcze nie dzieje. Aby coś mogło się dziać, musicie się jakoś połączyć, musi na was coś działać. Musi między wami coś zajść. Musimy zatem dodać nową przestrzeń – przestrzeń transformacji.

I znów, najprostsza nietrywialna przestrzeń transformacji ma dwa punkty. Jeden punkt, to transformacja trywialna. Taka, co nic nie robi, niczego nie zmienia. Oznaczymy ją też symbolem 0. Druga transformacja to nietrywialne działanie od Małgosi do Jasia i od Jasia do Małgosi Ta transormacja przeprowadza Jasia w Małgosię i Małgosię w Jasia.

Zatem

transformacja 0: 0 ----> 0, 1 ----> 1


transformacja 1 0 ----> 1, 1 -----> 0

Będziemy używać prawie tych samych oznaczeń co panowie Alain Connes i Michał Heller. Oznaczymy nasza przestrzeń symbolem E, zaś naszą grupę transformacji symbolem T. Powinienem użyć dużej greckiej litery Gamma, ale jest ona kłopotliwa, zastąpię ją więc podobną z wyglądu literą T, co zresztą nie jest aż tak głupie, bowiem T kojarzy się z Transformacjami. Szkopuł w tym, że dla matematyka litera T kojarzy się także z pojęciem „tangent” czyli „styczny”....


Mamy więc


Przestrzeń E = {0,1}


Grupa T ={0,1}


Przy tym grupa działa na przestrzeń. Wasi starsi bracia i siostry, ci co chodzą do Liceum, pewnie będą mogli wam powiedzieć, że działanie grupy na przestrzeń można opisać prostym wzorem.

Jeśli punkt przestrzeni 0 lub 1, oznaczymy symbolem x, zaś transformację, 0 lub 1, oznaczymy symbolem g

to działanie transformacji g na punkt x można zapisać jako


g: x ----> x+g modulo 2


Tak jest właśnie w układzie dwójkowym:


0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0


A teraz, skoro mamy i przestrzeń E i grupę transformacji T, możemy, jak to robią Matematycy, utworzyć ich produkt kartezjański ExT (ten symbol x w środku, pomiędzy E i T czytajcie jako symbol mnożenia, „razy”, tak jak w 2x2=4.

Oto obrazek tego produktu:

 

Atom Działania

 

Produkt ma cztery punkty. Te punkty to (0,0),(0,1),(1,0),(1,1).


Punkt (1,0) na przykład, to para: punkt 1 (czyli Jaś) oraz transformacja 0 (czyli „nie robić nic”).

Punkt (0, 1) to inna para: punkt 0 przestrzeni, czyli Małgosia, oraz transformacja 1 (czyli „zamienić Jasia z Małgosią”).

Ten produkt nazywa się też „wiązką”? Dlaczego? Ma podstawę (bazę) – to przestrzeń E. W naszym przypadku złożona tylko z dwóch punktów - Jasia i Małgosi. A nad każdym punktem podstawy stoi „włókno” - też niespecjalnie ciekawe, bo są to dwa elementy z grupy transformacji T: 0 i 1. Taka wiązka jest dość trywialna, nieprawdaż? Faktycznie jest wiązką trywialną. Każdy produkt (iloczyn kartezjański, kazda wiązka dyskretna, jest według terminologii matematycznej, wiązką trywialną. Ale nie musi być wcale naprawdę trywialna, w sensie, że 'nieciekawa'. Bo z nieciekawych bitów można przecież złożyć ciekawe zdania.

Podobnie jak panowie Connes i Heller, oznaczymy nasz produkt (wiązkę) ExT literą G. Dlaczego G? Bo za chwilę na scenę wkroczy tajemniczy Grupoid: G = ExT.

Najpierw Go przedstawię na obrazku. Jaś i Małgosia podają sobie ręce i coś się zaczyna dziać. Zaczyna płynąć pomiędzy nimi prąd:

 

Grupoid działania

 

Widzimy tu dwa punkty, 0 i 1 – to nasza przestrzeń E. Widzimy też linie ciągłe i strzałki – to możliwe rzeczy, które mogą się dziać pod wpływem transformacji. Jest tych linii ciągłych cztery i są opatrzone symbolami (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) – podobnie jak na poprzednim obrazku. Ale ich sens jest teraz nieco inny, bardziej Dynamiczny.

Na przykład to kółko (0,0), przy Małgosi, oznacza: wziąć Małgosię i nic z nią nie robić. Małgosi kręci się w główce, więc lepiej zostawić ją w spokoju. I to dogładnie robi transformacja 0 z punktem 0: 0+0=0. Od Małgosi wychodzimy i na Małgosi kończymy.

Linia ciągła oznaczona symbolem (0,1) oznacza: wziąć Małgosię i podziałać na nią transformacją 1, czyli zastąpić ją Jasiem: 0+1=1. Małgosia w rezultacie przechodzi w Jasia.

Linia ciągła (1,1) oznacza: startujemy od Jasia i zamieniamy go w Małgosię: 1+1=0.

Wreszcie kółko (1,0) oznacza wziąć Jasia i zastosować do niego transformację 0, czyli zostawić go w spokoju, bo kręci mu się w głowie.

Możemy wszakże wykonywać, idąc za strzałkami. dwa kroki pod rząd. Na przykład: pójść d Małgosi do Małgosi - kółko (0,0) a od Małgosi do Jasia – linia (0,1). W rezultacie przechodzimy od Małgosi do Jasia – linia (0,1). Zapisujemy to jako


(0,0)(0,1)=(0,1)


Albo: pójść od Małgosi do Jasia – (0,1) a potem od Jasia do Małgosi – (1,1). W rezultacie wychodzimy od Małgosi i wracamy do Małgosi – kółko (0,0). Zapisujemy to jako:


(0,1)(1,1)=(0,0)


W ten sposób, idąc za strzałkami, rozpoczynając następny krok od miejsca w którym zakończyliśmy krok pierwszy, otrzymujemy takie możliwe „mnożenia”:


(0,0)(0,0)=(0,0)

(0,0)(0,1)=(0,1)

(0,1)(1,0)=(0,1) (tu był poprzednio byk)

(0,1)(1,1)=(0,0) (tu był poprzednio byk)

(1,0)(1,0)=(1,0)

(1,0)(1,1)=(1,1)

(1,1)(0,0)=(1,1)

(1,1)(0,1)=(1,0) (tu był poprzednio byk)


Inne „mnożenia” nie są określone. Na przykład nie można dokonać mnożenia (0,0)(1,1), bo (0,0) kończy się na Małgosi a (1,1) zaczyna się od Jasia. Nie była by to „droga po strzałkach”.

Nasz zbiór G=ExT wraz z powyższą tabelką mnożenia to właśnie Grupoid. Grupoid Działania. W istocie jest to najprostszy nietrywialny grupoid działania – jakby Atom Działania.

Ale to dopiero początek. Bo od atomu działania krok do Algebry i stąd jakby do mechaniki kwantowej najprostszego układu fizycznego – czystego spinu ½.

Ale o tym następnym razem, jeśli następny raz będzie. Bo przecież: któż chciałby to wiedzieć? Przecież to abstrakcyjna matematyka, nie na salonowe progi!

Raz jednak poeksperymentować mogę, nieprawdaż.


 

Przypisy:

1) W naszym przypadku grupa transformacji jest przemienna (abelowa): 0+1=1+0. Nie zawsze jednak transformacje są przemienne. Matematycy stosują więc w ogólnym przypadku notację gh zamias g+h (dla transformacji) oraz xg zamiast x+g (dla działania transformacji na przestrzeń)

 

2) Są i ogólniejsze grupoidy, takie, które nie są grupoidami działania grupy na przestrzeń. Matematycy mówią, używając swego dziwnego języka teorii kategorii: grupoid to mała kategoria z odwrotnościami.

 

3) Nie jest wykluczone, że aby zbudować nasz Wszechświat z logicznych atomów, należy wyjść poza kategorię grupoidów. Bo niby dlaczego wszystko ma być odwracalne? Noblista, chemik, Ilya Prigogine wymaganie odwracalności, jako czegoś pierwotnego i niezbędnego, pewnie by odzrucił. A ja wraz nim. Z drugiej strony odwracalność jest 'wygodna'. Tylko czy prawda zawsze musi być wygodna. Pyatanie: na jakim etapie odwracalność procesów w Przyrodzie się łamie, jest do dziś pytaniem otwartym. Czeka na rozwiązanie.

 

 

Nota:

Ideę zbudowania „wszystkiego” z prostych dyskretnych struktur miało w historii wielu filozofów, matematyków i fizyków:filozof i matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz ze swymi monadami, był filozof i fizyk Carl Friedrich von Weizsäcker ze swoją Ur-hipotezą i bardzo ciekawym życiorysem (pisze się o jego roli w powstaniu bomby atomowej), był fizyk Tullio Regge ze swymi sieciami spinowymi, był David Finkelstein z jego „kodem czasu i przestrzeni”. Albert Einstein, zdesperowany nieudanymi usiłowaniami zbudowania jednolitej teorii pola gotów był rzucić kompletnie ideę ciągłości i przejść do fizyki opartej na strukturach skończonych, dyskretnych. Próbuje dalej Stephen Wolfram, wychodząc od idei automatów komórkowych. To tylko kilka przykładów. Nie wiem, czy ktoś próbował to zrobić wychodząc od Grupoidu.

Ja sam z grupoidami zetknąłem się po raz pierwszy w drugiej połowie lat osiemdziesiątych, kiedy to wraz z Robertem Coqueraux i Danielem Kastlerem opublikowaliśmy serię prac: `Graded Lie--Cartan Pairs', `Graded Lie--Cartan Pairs. 2. The Fermionic Differential Calculus',`Differential and integral geometry of Grassmann algebras'. Daniel Kastler, nota bene syn noblisty Alfreda Kastlera, promował wtedy, z zapałem i nie szczędząc sił, idee geometrii nieprzemiennej wśród fizyków – na pewien czas się nawet tą ideą sam dałem zarazić. Wróciłem do grupoidów cztery lata temu, kiedy to pierwszy raz próbowałem zrozumieć prace Michała Hellera i jego grupy ....

 

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Kultura