Potem następuje małe pomieszanie. Opiszę teraz przejęzyczenia i błędy. Przejęzyczenia da się wytłumaczyć po prostu nieuwagą. Jest jednak jeden błąd, który nieuwagą wytłumaczyć się nie da.

Moja hipoteza robocza: pracy nie przeczytał z uwagą żaden znający się na rzeczy recenzent.

Przejęzyczenia i błędy zakreśliłem na czerwono. Omówię je po kolei. Na końcu podsumuję i przedstawię moje stanowisko i moje intencje: czemu robie to co robię, a co jednym wydaje się dziwne, innym podejrzane (posądzany jestem np. o zazdrość), jeszcze innym zaś wręcz niewłaściwe.

Zacznijmy od góry, od „where A' denotes the commutant of A” czyli „gdzie A' oznacza komutant algebry A”. Jest to niewłaściwe, mylące, świadczące o roztargnieniu autorów w czasie pisania. Dlaczego mylące? Otóż autorzy użyli symbolu A dla oznaczenia konkretnej algebry funkcji. Dla tej algebry komutant w ogóle nie ma sensu. Komutant jakiejś algebry ma sens gdy mamy do czynienia z algebrą operatorów działających na (lub, jak ktoś chce 'w') pewnej przestrzeni – w naszym przypadku przestrzeni Hilberta. Taką algebrą jest np pi_omega(A), ale nie A. I to właśnie komutant algebry pi_omega(A) bierzemy, a następnie komutant tego komutanta. Wynikiem jest algebra oznaczana przez autorów symbolem R

Gdyby mi student tak napisał: 'komutant A', nabrałbym podejrzeń, że nie rozumie dobrze materiału i wziąłbym na spytki. Autorów na spytki wziąć nie mogę. Stosuję więc taryfę ulgową: napisali nie zastanawiając się głębiej nad tym co piszą, w końcu to nie takie ważne, prawda? Napisali głupotę, ale od tego jest czytelnik, żeby takie rzeczy sobie w głowie prostował. Nota bene świetnie nadaje się na pytanie egzaminacyjne dla studentów, pytanie sprawzdające stopień zrozumienia materiału:

W następującym kontekście znajdź błąd w sformułowaniu „gdzie A' oznacza komutant algebry A”

Następna niezręczność, poważniejsza: „ksi is separating in A” czyli „ksi jest separujący w A”. Gdyby mi student coś takiego napisał, nabrałbym podejrzeń, że nie rozumie materiału. W tym wypadku jednak zastosuję taryfę ulgową i przypiszę to roztargnieniu czy nieuwadze autorów. Może ich głowy zaprzątnięte były w czasie pisania myślami o bytach wyższych? Nie wiem.

Już tłumaczę.

Jak wyżej, autorzy nie powinni użyć symbolu A, bowiem pojęcie wektora separującego dla algebry A używanej przez autorów w ogóle nie ma sensu. Powinni byli napisać:

Uwaga: wektor ksi jest separujacy dla jakiejś algebry operatorów wtedy i tylko wtedy, gdy jest cykliczny dla jej komutanta.

Nota bene: powinno być "Let R be the von Neumann algebra generated by" a nie "Let R be a von Neummann algebra generated by". Nie chodzi tu bowiem nie o jakąś algebrę, tylko o konkretną, tą mianowicie generową przez... Małe piwo, oczywiście. Sam miewam problemy z rozróżnieniem kiedy stosować "a" a kiedy "the". To jednak nie wszystko. Bowiem tuż przedtem autorzy napisali: „Let the vector psi_omega be a cyclic and separating vector in the Hilbert space H_omega”.

Użycie „the” sugeruje, że mowa o tym samym wektorze o którym była mowa wyżej, wektorze wynikajacym z konstrukcji GNS. Co ma jednak oznaczać słowo „Let” na początku? Czy ma oznaczać „Będziemy zakładać”? Nie można tego zakładać, jeśli stan omega nie jest stanem wiernym. (nie będę tłumaczył co to jest stan wierny). Ponieważ w dalszym ciągu autorzy używają konstrukcji Tomity-Takesakiego, zapewne zakładają, że omega jest 'stanem wiernym i normalnym'. Nie napisali jednak tego. Wina spada tu, po części, na samego Connes'a, który w pierwszym wydaniu swojej książki popełnił lapsus, napisał bowiem „Thus to every state....” . W drugim wydaniu już jest poprawnie, nie „dla każdego stanu” a „dla każdego wiernego i normalnego stanu” (nb. zamiast słowa 'stan" lepiej użyć słowa 'waga'). Jestem pewien, że autorzy o tym wiedzą. Przypisuję więc ten błąd znów nieuwadze.

Wreszcie, pisząc, że jakis wektor jest separujący dla jakiejś algebry, powiedzmy R, powinniśmy napisać „separating for R” a nie, jak to napisali autorzy „separating in R”, wektor bowiem do R nie należy. Znów nieuwaga.

Nota: Tytuł jednej z prac wchodzących w skład mojej rozprawy doktorskiej, pracy opublikowanej w 'Communications in Mathematical Physics' (i trochę cytowanej) brzmiał: „Pewne uwagi o algebrach von Neumanna z wektorem cyklicznym i separującym”.

Kkolejny błąd, który teraz opiszę, jest poważniejszy. Nie mogę, nawet przy dobrej woli, przypisać go po prostu nieuwadze.

Przed przystąpieniem do czytania tego, co napiszę poniżej, proponuję Czytelnikowi by zajrzał najpierw na str. 43 z monografii „Noncommutative Geometry” - Connes'a, gdzie, z wyjątkiem wspomnianego wyżej lapsusa, wszystko jest napisane prosto, zwięźle i poprawnie.

Teraz do rzeczy. Heller i Sasin piszą: „We define the operator S: R --> R”. Dodatkowo piszą, w następnej linijce, S(b) gdzie b jest elementem algebra R, co świadczy o tym, że nie jest to przejęzyczenie, że tak naprawdę myślą. A to jest błąd, błąd świadczący o tym, że nie zrozumieli o co w konstrukcji Tomity-Takesakiego chodzi.

Wyjaśnię. W algebrze R rzeczywiście jest operator, przy pomocy którego konstruuje się operator S. Ten operator to gwiazdka, sprężenie Hermitowskie operatorów w przestrzeni Hilberta. S natomiast jest operatorem działającym w przestrzeni Hilberta H_omega, operatorem określonym na gęstej dziedzinie powstałej z działania algebry R na cykliczny dla niej wektor ksi_omega. Connes pisze to jasno i prosto. Gdyby Heller i Sasin nie napisali S(b), mógłbym uznać, że się raz jeszcze przejęzyczyli. Ale napisali S(b). Gdyby tak napisał mój student, odesłałbym go przynajmniej na jeden dzień do domu z zadaniem zrozumienia o co w konstrukcji idzie, jak ona przebiega. Użycie S(b) jest oryginalnym dodatkiem autorów do tego co jest u Connes'a – dodatkiem błędnym.

A teraz o co mi idzie w tym moim pisaniu? Czy moim celem jest pogrążenie Hellera i Sasina? Bynajmniej. Przypomnę, że pomimo niezliczonej ilości znacznie poważniejszych nawet błędów w pracach Igora i Grichki Bogdanov, wziąłem ich w obronę. Dlaczego? Bo nastąpiła gremialna napaść na autorów. Gdyby nastąpiła gremialna napaść na Hellera i Sasina, także wziąłbym ich w obronę. Jeśli taka napaść kiedyś nastąpi – będę ich zawzięcie bronił. Będę podkreślał, że ich prace zawierają oryginalne, godne uwagi idee. Winę za puszczenie w obieg prac z błędami ponoszą przede wszystkim recenzenci. Wszystkie wskazane przez mnie błędy, te większe i te mniejsze są bowiem dla przedstawienia samej idei pracy całkowicie nieistotne. Są do poprawienia.

Póki co jednak jest przeciwnie, wszyscy są zachwyceni i szczęśliwi. Moim zadaniem jest więc, tak je sobie stawiam, oddać hołd prawdzie. Wyrównać. Jest taka piosenka:

Wojciech Młynarski - "Przyjdzie walec i wyrówna"

budowaliśmy z kumplami coś płaskiego, jakby drogę,

a że praca była ostra i częściowo za darmochę,
droga wyszła całkiem prosta, tylko wyboista trochę

lecz świeciła nam myśl główna,
którą tak bym ujął tu:
przyjdzie walec i wyrówna,
przyjdzie walec i wyró,
przyjdzie walec i wyró!

więc choć się z początku sporo orłów na niej wywijało,
niemniej, rzecz ogólnie biorąc, iść się po tej drodze dało,
sprawa była oczywista, siwy mróz czy lipiec duszny,
nic, że droga wyboista, ważne, że kierunek słuszny!

niezależnie zaś myśl główna,
wciąż nam dodawała tchu,
przyjdzie walec i wyrówna,
przyjdzie walec i wyró,
przyjdzie walec i wyró!

aż ktoś dostrzegł, że wertepy szlak nasz znaczą jako żywo,
nie z nadmiernej, panie, krzepy, nie z romantycznego zrywu,
tylko nacią od pietruszki wisi ludziom ta robota
tylko każdy własnej dróżki szuka cichcem po wykrotach

ale krzyczy, jak on krzyczy!
jak on krzyczy, że rzecz główna
ale wiecie, szybciej, naprzód, lu,
przyjdzie walec i wyró,
przyjdzie walec i wyró!

a kto sobie koleiny już wydeptał, bierze szmalec
i odwala partaninę powołując się na walec,
więc nie martwię się, broń Boże, ale gdzie ta, ale gdzie ta,
gdy się komuś nagle może nie spodobać ta kaseta,

no to co, że forma brudna
i że błędy tam i tu?
przyjdzie walec i wyrówna,
przyjdzie walec i wyró,
przyjdzie walec i wyró!

Otóż wyrównuję. Nie ma dla mnie wyższej wartości niż prawda. Wiele mi się od życia za to już oberwało i pewnie oberwę jeszcze więcej.

Wreszcie, dlaczego piszę recenzję pracy naukowej na blogu, gdzie bodaj nikt nie jest w stanie powiedzieć, czy mam rację, czy też tylko się czepiam? Moja odpowiedź: a dlaczego by nie? Instytucja blogowania jest dość nowa, rozwija się na naszych oczach. Rozwijam ją sam, jak mi się wydaje,w pożytecznym kierunku.

P.S1. O grupoidach jeszcze napiszę

PS2. Znacznie lepiej wyglądają prace Michała Hellera, których wspólautorem jest Leszek Pysiak. Pysiak bowiem, uczeń i wychowanek bodaj najlepszego w Polsce i jednego z najlepszych w świecie ekspertów, Lecha Woronowicza, naprawdę i głęboko zna się na przedmiocie.