Wstępne Uwagi na temat Symetrii w Fizyce
Przedmiotem moich wykładów będzie symetria i supersymetria w kwantowej teorii pola.
Słowo "supersymetria" przywodzi na myśl coś pokrewnego pojęciu symetrii, ogólniejszy rodzaj symetrii. Tak w istocie jest, choć można się spierać czy nazwa została wybrana jak należy. Supersymetria jest rzeczywiście przedłużeniem standardowego pojęcia symetrii używanego w klasycznych podręcznikach. Aby to dobrze zrozumieć najpierw musimy nauczyć się czegoś o symetriach. Stąd pozwolę sobie na kilka słów o nich.
Od dzieciństwa napotykamy w codzienności mniej lub bardziej wyraźne symetrie. Większość ludzi sądzi, że świat odzwierciedlony w lustrze jest dokładnie tak dobry albo tak zły jak ten prawdziwy w którym żyjemy, i są w błędzie, z pewnością. jak pokazali to Lee i Yang w r. 1957.[1]Jesteśmy zafascynowani doskonałymi proporcjami rzeźb i gmachów stworzonych przez wielkich mistrzów.
Ozdoby znalezione w wykopaliskach w Egipcie obejmują wszystkie znane grupy krystalograficzne w dwu wymiarach, a jest tych grup 17. To samo można powiedzieć o ornamentach z Alhambry. [2]
Nie wszyscy jednakże zdajemy sobie sprawę z faktu, że pojęcie symetrii weszło do fizyki w matematycznie spójny sposób stosunkowo późno.[3] Było oczywistym dla każdego fizyka i prawie każdego innego, że kryształy (przykładowo) prezentują symetrię; ale co dokładnie należy rozumieć przez pojęcie symetrii? A także jak sformułować to matematycznie? Nie było to jasne.
W latach 1870 i 1880 Curie jako jedni z pierwszych wprowadzili współczesne pojęcie symetrii w zastosowaniu do struktury kryształów. Upłynęło sporo czasu zanim stworzono teoretyczne podstawy grup przestrzennych, które opisują symetrię kryształów (Fedorov w Rosji, Schoenflies w Niemczech około 1890).
Kolejnym znacz rozwinięciem pojęcia symetrii w fizyce była szczególna teoria względności (Poincare, Einstein, Minkowski). Potem pojawiła się ogólna teoria względności. Einstein wystartował z bardzo ogólnej zasady symetrii i na tej podstawie wyprowadził równania grawitacji. W taki oto sposób symetria dyktowała oddziaływania pól, jak w tym konkretnym przypadku oddziaływanie pola grawitacyjnego z materią jako osobliwością pola grawitacyjnego.
W końcu przyszło zadziwiające pojęcie pól cechowania, pojęcie, które rozwinęło się z rozważania symetrii geometrycznych . Oryginalna idea należała do Weyla (1918) i stanowiła moment kulminacyjny w pięknej i głębokiej teorii nieabelowych pól Yanga-Millsa. [4]
Nie wszyscy z nas wiedzą o dobrze znanym artystom fakcie, że dokładna symetria nie jest atrybutem doskonałości.[5] Dzieło sztuki może być prawdziwie piękne tylko wtedy, gdy jego regularna symetria jest podkreślona poprzez subtelne, prawie niezauważalne złamania tej symetrii .[6] Te estetyczne kanony mają swój odpowiednik w przyrodzie. Idealnie dokładne symetrie nie występują w przyrodzie; wszystkie są przybliżone. Niedoskonałości metody ludzkiego doświadczenia zmuszają naukowca do wydzielenia pewnej klasy badanych zdarzeń z niepodzielnej całości zachodzących zjawisk, przyjąć abstrakcyjny model świata, a także użyć idealistycznych wyobrażeń takich jak dokładna symetria układu fizycznego.[7] Procedura ta jest, moim zdaniem, jedyną, który została nam dana przez Opatrzność w zgłębianiu natury na systematycznej drodze; nie można tego ulepszyć choć zdajemy sobie sprawę z niedoskonałości tej metody.
Zilustrujmy te rozważania na następującym przykładzie. W teorii nierelatywistycznej rozważa się grupę symetrii Galileusza jako tą która w najlepszy możliwie sposób oddaje symetrie napotkane w przyrodzie. Ale okazuje się, że ta dokładna symetria nie odzwierciedla przyrody zbyt gdy tylko zaczynamy badać zdarzenia, w których obserwowane prędkości są porównywalne z prędkością światła, kiedy to zasada względności Einsteina odgrywa swą rolę. Szczególna teoria względności, która z kolei opiera się na teorii przekształceń Lorentza, i który rządzi eksperymentami w laboratoriach stworzonych przez człowieka, traci swą niewzruszoną pozycję gdy przechodzimy do problemów kosmologii i grawitacji.
Przypuśćmy, że zgodziliśmy się dokonać pewnych badań opierając się na jakimś abstrakcyjnym matematycznym modelu. Wtedy powstaje paradoksalna sytuacja: wydaje się, że pojęcie przybliżonej symetrii powinno być łatwiejszym do uchwycenia aniżeli pojęcie symetrii dokładnej; winno to być konsekwencją naszego codziennego doświadczenia, w którym spotykamy się wyłącznie z przybliżonymi symetriami. Jest jednak przeciwnie, jest nam zdecydowanie łatwiej zdefiniować i użyć dokładną symetrię niż podać jasną i niedwuznaczną definicję symetrii przybliżonej. To leży w logicznej strukturze naszego doświadczenia; przypadek dokładnej symetrii może być wyraźnie oddzielony w terminach matematycznych od przypadku symetrii przybliżonej; symetrii przybliżonej nie może być ostro określić, można ją interpretować na wiele sposobów. Nie stanowi to problemu dla artysty, który jest wiedziony w swojej pracy jego artystycznym smakiem. Nie jest to także problemem dla fizyka doświadczalnego, który jest przyzwyczajony do używania intuicji w jego pracy; jego zdaniem problem jest rozwiązany gdy tylko dochodzi do wniosku, że odchylenie od dokładnej symetrii jest nieistotne. Jeśli, jednakże, fizyk teoretyk próbuje formułować w sposób matematycznie ścisły to co fizyk doświadczalny rozumie przez małe odchylenie, wtedy teoretyk napotyka na ogół na poważne kłopoty, które często nie mogą być przezwyciężone.
.....
W tej wstępnej nocie próbowałem uzasadnić i podkreślić wagę matematycznej ścisłości w badaniu podstaw kwantowej teorii pola oraz symetrii na tej teorii opartych. Wydaje się stosownym ostrzeżenie czytelnika by bie wyciągał z tych uwag błędnych wniosków i nie spodziewał się ode mnie, że będę się trzymał w tych wykładach wysokich standardów matematycznej ścisłości. Przedstawienie przedmiotu tych wykładów z pełną ścisłością matematyczną wymagałoby przekroczenia rozmiarów tej książki i, co ważniejsze, wymagałoby ode mnie większych zdolności zawodowych niż te, które posiadam; moja kultura matematyczna jest zbyt mała dla takiego przedsięwzięcia. Zatem mój stosunek do czytelnika jest nieco podobny do tego co słyszymy od niektórych kaznodziejów, kiedy mówią nam: czyń tak jak głoszę, nie czyń tak, jak ja czynię.
Noty:
[1] 1 T. D. Lee and C.N. Yang, Phys. Rey. 105 (1957) 1671
[2] H. Weyl, Symmetry, Princeton University Press, 1952. E. Muller, Gruppentheoretische Ornamente aus der Alhambra in Granada, Zurich, ETH Doktor Dissertation, 1944. Weyl pisał o budowlach w Egipcie "The art of ornamentation contains in hidden form the oldest fragment of higher mathematics known to us. No doubt that until the 19th century no proper notational tools existed to formulate in an abstract way these problems, as the mathematical notion of a group of transformations did not yet exist; not before this basis was established one was able to prove that there are no other symmetries besides the 17 already known, in their essence of the matter, to the Egyptian artisans. It is amazing that the proof was given first in 1924 by G. Polya.”
[3]C. N. Yang, Fields and Symmetries — Fundamental Concepts in 20th Century Physics, 1984, also Ref. 2.
[4] C. N. Yang and R. L. Mills, Phys. Rev. 96 (1954) 191; there are some unpublished notes of W. Pauli concerning non-abelian gauge field theory written in 1953, see C. N. Yang, Selected Papers 1945-1980 With Commentary, W. H. Freeman and Co., San Francisco, 1983.
[5] C. N. Yang, in 7th Winter School of Theoretical Physics, Karpacz, 1970. See H. Weyl (Ref. 2) as well as some pictures of M. C. Escher in The World of M. C. Escher, H.N. Abrams, Inc. Publ., New York, 1971, which illustrate well the unconventional aspects of symmetry.
[6] Notice that the two towers of the Frauenkirche (Cathedral and Parish Church of Our Lady) in Munich look about the same but are not identical, one is slightly higher than the other one; the same is true of the St. John Cathedral in my hometown, Wroclaw.
[7] Notice that in classical statistical physics one very often uses a picture consisting of particles interacting with each other by means of a potential, even in cases when the interaction is so strong that the separation of a system of free particles from the whole system looks somewhat artificial.
