Zamierzałem dziś zajrzeć w głąb króliczej jamy, ale komentarze pod wczorajszym wpisem mnie przystopowały. Królicza jama musi poczekać, jako że na pytania i wątpliwości muszę odpowiedzieć, a jest tego więcej dało się napisać w komentarzu do komentarza.
Zacznę od Poissona. Poisson to po naszemu „ryba” a ryby bywają różnych kształtów. Są okrągłe i podługowate ale też są też pulchne i gąbczaste. Niektóre nawet rażą prądem ...
Żarty żartami, zacznę od wyjaśnienia co to jest proces Poissona. Polska Wikipedia jest tu do niczego, ma jedynie zalążek artykułu. Zresztą chodzić mi będzie tylko o proces Poissona w zastosowaniu do rejestracji cząstki przez detektor, więc ograniczę się do tego przypadku.
Sytuacja jest taka, że mamy detektor i najeżdża na niego kwantowa paczka falowa. Detektor „czuje tą falę i wzbiera w nim złość. Detektor ma swoje granice wytrzymałości, zatem gdy złość te granice przekroczy, detektor nie wytrzymuje, szczęka (lu szczeka) i redukuje (lub, mniej ładnie, „kolapsuje”) paczkę falową. Zaraz po tym detektor podnosi się z zapaści (prawdziwy detektor potrzebuje na to pewnego czasu, tzw. „czas martwy”, ale tutaj, dla prostoty, będziemy zakładać, że detektor jest „idealny”) i losowo wybiera nową granicę swojej wytrzymałości, gdy paczka falowa zacznie się podnosić z kolapsu i znów zacznie go nękać. Dlaczego wybiera losowo swe granice wytrzymałości? Może po to, by paczka falowa nigdy nie wiedziała czego ma się spodziewać. Ważne jest to, że nie tylko detektor wie o paczce, lecz także paczka wie o detektorze. W czasie pomiędzy szczeknięciami detektora paczka rozwija się zgodnie z równaniem Schrodingera, tyle że „niesłusznym równaniem Schrodingera”, gdzie odstępstwo od słuszności jest właśnie wynikiem obecności detektora. Gdy detektora w ogóle nie ma, lub gdy jest „daleko”, wtedy mamy zwykłe, słuszne równanie Schrodingera – mechanikę kwantową z podręcznika oficjalnej nauki.
Tak można, z grubsza mówiąc, opisać proces Poissona zachodzący w trakcie detekcji kwantowej cząstki. A nie „z grubsza”? Aby uniknąć matematycznych nieprzyjemności z jakimi musielibyśmy mieć do czynienia w przypadku detektora punktowego (delty Diraca etc.), pozwólmy detektorowi się nieco rozmyć w przestrzeni, powiedzmy, że jego „czułośc” będzie opisywana nieujemną funkcją g(x), tak ja na tym rysunku wziętym z Małego Księcia:
Hazelhard pytał wczoraj co jest w środku detektora. Antoine de Saint Exupery wyjaśnia to już w następnym grafie:
W samej rzeczy, jak będę o tym pisał w niedalekiej przyszłości, słonie w detektorach bywają dziwniejsze niż ten z Małego Księcia, na przykład takie:
A dlaczego detektor w Małym Księciu ma dwa garby? Fotoreceptor w oku ma także dwa garby.
Po tym żartobliwym choć wyjaśniającym istotę procesu wstępie czas na trochę prostej matematyki. Zamiast wypisywać czasowe równanie Schrodingera wypiszę jego scałkowaną formę zakładając, że opisująca czułość detektora funkcja g(x) nie zależy w sposób jawny od czasu, zatem, że nie jest to jakieś g(x,t).
Uwaga: to, że g(x) nie zależy od czasu nie przeczy temu, jak zobaczymy, że detektor po każdym szczęknięciu ustanawia losowo granice swojej wytrzymałości. Nie będzie to zresztą tutaj istotne, bowiem i tak mam zamiar ograniczyć się do dyskusji rozkładu prawdopodobieństwa czasu „pierwszego szczeknięcia”. Ze względu na trudności z HTML będę oznaczał przez g2 kwadrat funkcji g.
Otóż paczka falowa rozwija się w czasie zgodnie z formułą
Psi(t) = W(t,t0)) Psi(t0)
gdzie
W(t,t0) = Exp [(-iH - g2/2)(t-t0) ]
H jest tutaj zwykłym Hamiltonianem (samosprzężonym operatorem energii), tym z książek, zaś g w tej formule jest operatorem mnożenia przez funkcję g(x). Na początku, w chwili t=t0, paczka falowa jest należycie unormowana: ||Psi(t0)||=1.
Ten dodatkowy człon, pochodzący od detektora, powoduje, że norma funkcji falowej nie jest zachowana w czasie, jest, jak się można łatwo przekonać, monotonicznie malejąca (ściślej: nie rosnącą) funkcja czasu. Już widzę jak Schrodinger, Bohr i von Neumann gotowi są wstać z grobów i zaprotestować, ale jak przeczytają rzecz do końca, może się uspokoją.
A co robi w tym czasie detektor? Ano wylosował sobie, z jednostajnego rozkładu, liczbę p, pomiędzy zerem a jedynką i czeka. Czym bardziej paczka falowa najeżdża na detektor, tym ważniejszy staje się dodatkowy człon – g2/2 w ewolucji czasowej i tym szybciej zaczyna maleć norma funkcji falowej. Gdy zmaleje do ||Psi(t)||=p, wtedy detektor szczeka i redukuje paczkę falową:
Psi(x) przechodzi do g(x)Psi(x)/||g(x)Psi(x)||.
Detektor losuje nowe p i proces zaczyna się od nowa.
I to wszystko. A gdzie tu ryba, gdzie Poisson? Gdyby g(x) była stałą, mielibyśmy jednorodny proces Poissona. Ale g(x) stałą nie jest, mamy więc do czynienia z niejednorodnym procesem Poissona. Prawdopodobieństwo tego, że detektor szczęknie w interwale czasowym (t,t+dt) jest równe lambda(t)dt, gdzie
lambda(t) = ||g Psi(t)|| do kwadratu.
I to już wszystko o rybach. Tichy oczywiście będzie ciekaw jak to jest z dwoma i więcej szczeknięciami. Ogólna formuła dla łącznego rozkładu pierwszych n zdarzeń dana jest w A. Jadczyk, Some Comments on the Formal Structure of Spontaneous Localization Theories , równanie (12).
Krzywe na rysunku z poprzedniego wpisu nie są unormowane, bowiem może się zdarzyć, że detektor cząstki w ogóle nie zauważy, że nie zauważy np. 30% nadchodzących cząstek. Nie ma w tym nic nadzwyczajnego. Proces jest dobrze zdefiniowany i ma się dobrze.
Tyle o rybach. Teraz o Egipcie. Korzeń słowa Ptolemeusz to „obywatel Egiptu”. Stąd pisząc o Ptolemeuszu piszę też, chcąc nie chcąc, o Egipcie!
W komentarzu do mojego wczorajszego wpisu przeczytałem:
„Mechanika kwantowe odniosła ogromne sukcesy w opisie niezliczonych zjawisk. Nie tylko jednego jedynego zjawiska, jak w przypadku Ptolemeusza.”
Cóż mogę powiedzieć? Zacytuję tylko z książki Arthura Koestlera:
(tłum. moje), a o „niebywałych sukcesach mechaniki kwantowej” będę jeszcze pisał w przyszłości.
„Zatem ani ignorancja, ani wyimaginowane groźby aleksandryjskiej inkwizycji nie są w stanie wyjaśnić dlaczego greccy astronomowie, już po odkryciu układu heliocentrycznego odwrócili się do niego plecami. Choć, prawdę mówiąc, nigdy nie zrobili tego do końca; jak na to poprzednie cytaty od Cycerona i Plutarcha po Macrobiusa wskazują, wiedzieli oni, że to Słońce rządzi ruchami planet a jednocześnie zamykali na to oczy. Być może to irracjonalność, sama w sobie, jest tu wskazówką wyrywającą nas z nawyku myślenia o nauce jako czymś czysto racjonalnym. Czemuż to wolno artystom, zdobywcom i mężom stanu mogą kierować się irracjonalnymi motywami a bohaterom nauki to już nie? Po Arystotelesie astronomowie jednocześnie negowali i potwierdzali rolę Słońca w ruchu planet. Podczas gdy świadomość odrzuca tego rodzaju paradoks, podświadomość ma taką już naturę, że może jednocześnie afirmować i negować, odpowiadać tak i nie na to samo pytanie, widzieć i nie wiedzieć. Nauka grecka w wieku swego upadku stała w obliczu nierozwiązywalnego konfliktu, konfliktu którego wynikiem było rozszczepienie umysłu. Ta „kontrolowana schizofrenia” trwała poprzez wieki Ciemne i poprzez Średniowiecze, aż stała się czymś normalnym dla ludzi. Była podtrzymywana nie przez jakieś zewnętrzne zagrożenia, ale przez rodzaj cenzury wewnątrz samych umysłów, które to umysły trzymały ją w kompletnie odseparowanych od siebie częściach umysłow.
Główną troską było 'zachowanie pozorów'. Pierwotnie w tym zachowaniu pozorów chodziło o to, by zdać sprawę z obserwowanych zjawisk, że powinna mieć miejsce zgodność z faktami. Ale stopniowo fraza ta zaczęła oznaczać coś innego. Astronom 'ratował' zjawisko, gdy udawało mu się wymyślić hipotezę wyjaśniająca nieregularności ruchu planet po nieregularnie ukształtowanych orbitach przez ruchy regularne po orbitach kołowych – bez względu na to, czy hipoteza była prawdziwa czy fałszywa. (...) Sam Ptolemeusz przedstawił to tak, że jaśniej nie można: 'Wierzymy, że zadaniem astronoma jest to: zademonstrować, że wszelkie zjawiska na niebie pochodzą od jednostajnych ruchów kołowych ..”
I tyle. Moim zdaniem mechanika kwantowa jest pod tym względem podobna do systemu Ptolemeusza. Zadaniem fizyka jest sprowadzenie wszystkiego do równania Schrodingera, tak oznajmiają dzisiejsi lunatycy.
