„Czy irracjonalność może być racjonalna?” Tak chciałem początkowo zatytułować mój dzisiejszy wpis. Później przyszedł mi do głowy jeszcze bardziej wyzywający tytuł: „Pochwała irracjonalności”. Przypomniałem sobie jednak uwagę jednego z komentatorów blogu Eine, który przestrzegał mnie przed „przewracaniem uczniom w głowie”. Dokładniej, wraził to tak: treść winna być taka „by zrozumiał ją przeciętny maturzysta i nie nabawił się przy tym 'złych przyzwyczajeń'." W trosce o 'przeciętnego maturzystę' zmieniłem więc nagłówek na, jak mi się wydaje, bezpieczniejszy.
Mój wpis dzisiejszy będzie niejako kontynuacją wpisu wczorajszego. Zacznę wszak z innej beczki.
Ponad dwa tysiące lat temu w swojej “Obronie Sokratesa” Platon włożył w usta Sokratesa takie oto słowa
“[...] Wróciwszy do domu zacząłem miarkować, że od tego człowieka jednak jestem mądrzejszy. Bo z nas dwóch żaden, zdaje się, nie wie o tym, co piękne i dobre, ale jemu się zdaje, że coś wie, choć nic nie wie, a ja, jak nic nie wiem, tak mi się nawet i nie zdaje. Więc może o tę właśnie odrobinę jestem od niego mądrzejszy, że jak czego nie wiem, to i nie myślę, że wiem. Stamtąd poszedłem do innego, który się wydawał mądrzejszy niż tamten, i znowu takie samo odniosłem wrażenie.
Tu znowu mnie ten ktoś znienawidził i wielu innych ludzi. Więc polem tom już po kolei dalej chodził, choć wiedziałem, i bardzo mnie to martwiło i niepokoiło, że mnie zaczynają nienawidzić, a jednak mi się koniecznym wydawało to, co bóg powiedział, stawiać nade wszystko.“
Skąd się bierze nasz wiedza? Czy oparta jest wyłącznie na racjonalnych podstawach? I które to podstawy są racjonalne? Kto i jak o tym decyduje? Na jakich podstawach?
Nie sposób oddzielić życia od filozofii życia. Nie sposób oddzielić nauki od filozofii nauki.
Nic nie ilustruje lepiej ogólnych i skomplikowanych problemów niż szczególny a prosty przykład. Czym przykład prostszy, czym bardziej drastyczny, tym na ogól lepiej, jak długo ilustruje on dany problem.
Powiedzmy, że rzuciłem dziesięć razy monetę. Wyszło pod rząd dziesięć orłów. Czego mam się spodziewać w następnej serii dziesięciu rzutów? Czy mam się spodziewać powtórzenia tej udanej serii? Czy też mam uznać, że zdarzył mis się niezwykły przypadek o którym lepiej zapomnieć? Nie wiem, szukam więc pomocy u statystyka. Statystyk mówi mi, że aby dać odpowiedź na moje pytanie, potrzebne jest przyjęcie pewnego modelu. No dobrze, ale jaki model mam przyjąć? Mogę np. założyć, że moja moneta jest uczciwa, że „miałem szczęście”, że w związku z tym byłoby irracjonalnym oczekiwać, że za następnym razem wyjdą znów same orły. Ale mógłbym również przyjąć inny model, zakładając, że moja moneta jest „oszukana” do tego stopnia, że za każdym razem, no „prawie za każdym razem”, wychodzi orzeł. Który model powinienem przyjąć? Cóż, to zależy od wyboru metamodelu. A od czego zależy wybór metamodelu? Od wyboru metametamodelu. I tak ad infinitum.
Ktoś mi powie, że niewyważone monety „bardzo rzadko się zdarzają”. Zgoda, ale mogą mieć „bardzo wielkie znaczenie”. Dochodzimy do wniosku, że w ostatecznym rachunku wszystko zależy od ludzkich przekonań. A skąd się biorą przekonania? Oh, by na to pytanie odpowiedzieć potrzebny jest wybór pewnego modelu. Wydaje się więc, że nie ma czysto logicznej drogi do wiedzy.
Czy oznacza to, że wiedza jest nieużyteczna? Bynajmniej. Statystyk, profesor Uniwersytetu Stanowego Pensylwanii, Radhacrishna Rao, we wstępie do książki „Statystyka i Prawda” wybiera m.in. takie motto:
„Wiedza, to to co wiemy
a także to czego nie wiemy.
W samej rzeczy, odkrywamy to czego wiemy
Poprzez to co wiemy.
W ten sposób nasza wiedza rośnie.
Czym więcej wiemy,
tym więcej wiemy czego nie wiemy.
I w ten sposób nasza wiedza nie ma granic.”
W zakończeniu swojej książki Rao przytacza historię genialnego matematyka z Indii, Ramanujana. Wiele o Ramanujanie już napisano, myślę jednak, że warto ten fragment w skrócie przytoczyć, bowiem ilustruje on moje stanowisko. Rao pisze tak:
Ramanujan pojawił się na matematycznym nieboskłonie jak meteor, przemknął swoim krótkim życiem, by zniknąć tak nagle jak się pojawił, mając zaledwie 32 lata. Ramanujan nie uprawiał matematyki tak, jak robią to inni. On odkrywał i worzył matematykę. W ten sposób stał się fenomenem samym w sobie a jego twórczość jest zgadką. Ramanujan odkrywał jedną formułę lub jedno twierdzenie dziennie. A jego twierdzenia nie były zwykłymi twierdzeniami. Były zaczątkami nowych działów matematyki. Przystańmy na chwilę przy jednej z hipotez Ramanujana z roku 1919-go, krótko przed jego śmiercią. Dotyczyła ona „funkcji partycji” p(n) zdefiniowanej kombinatorycznie jako liczba możliwych sposobów na które można przedstawić, nie biorąc pod uwagę kolejności, daną liczbę całkowitą jako sumę jej składników. Np.
4 = 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1
stąd p(4)=5. Ramanujan zapisał w swoim dziennika następującą hipotezę:
Jeśli 24n-1 = 0 (mod 5^a7^b11^c) to p(n)= 0 (mod 5^a7^b11^c) .
Dla matematyków była to całkowita nowość, nic podobnego nie było dotąd znane. Inny matematyk z Indii, Chowla, zaczął sprawdzać formułę, liczba po liczbie, i stwierdził, że formuła zawodzi dla n=243!
Ale w roku 1967 inny matematyk, Atkins, udowodnił, że formuła Ramanujana jest prawdziwa – przy jednej tylko zmianie: „b” trzeba w niej zastąpić przez „[b/2]+1”. Nie jest aż tak ważne że Ramanujan nie otrzymał prawdziwej formuły, którą z pewnością by otrzymał używając matematyki tak jak „wszyscy”. Ważne jest to, że otrzymał formułę tak głęboko wnikającą w naturę liczb, czego nie rozumiemy. Jak w ogóle wpadł na ten oryginalny pomysł? Jak należy przygotować nasz umysł by mógł stać się tak twórczym? Czy geniuszem pojawia się już od narodzin? Ramanujan nie miał żadnego formalnego wyższego wykształcenia matematycznego. Nie wiedział co się dzieje w świecie nauki. Formułował twierdzenie bez dowodów i nie podawał jak do nich doszedł. Mawiał, że to bogini Namakkal podpowiada mu te formuły w czasie snów. Dziś wiele z jego nieoczekiwanych twierdzeń już udowodniono.”
W przysparzaniu ludzkości wiedzy działa zatem zarówno czynnik racjonalny jak i irracjonalny. Można na świat patrzeć z danego poziomu i na tym poprzestać, można też spojrzeć nań także z metapoziomu. Można przyjąć jakiś punkt widzenia i tak już pozostać, można też wspiąć się do metapunktu i zobaczyć różne możliwe punkty widzenia. Mamy wtedy większy wybór, Jesteśmy bardziej wolni.
Na koniec tego wpisu zagadka, test swobody myślenia:
Pewien człowiek miał okno, metr szerokości i metr wysokości. Stwierdził, że w pokoju jest za mało światła. Zatem zwiększył wymiary swego okna tak, by mieć dwa razy więcej światła. A mimo to, po zmianie okno miało nadal metr szerokości i metr wysokości. Jak to możliwe?
P.S. W komentarzu do mojego wczorajszego wpisu oi(er) napisał: "We ,,współczesnej" mat. DOWODZI SIę, że w dowolnym CIELE algebraicznym (również niearchimedesowym, tj. takim, w którym można mówić o nieskończenie małych i nieskończenie dużych) (F,+,.,0,1) jest:
0.x=x.0=0, dla dowolnego x z F."
Racja. Rzecz wszakże w tym, że w rachunku prawdopodobieństwa nie mamy do czynienia z ciałem. Np. suma plus nieskończoności i minus nieskończoności jest po prostu nieokreślona. Co nie przeszkadza w tych konkretnych zastosowaniach
