Kolega był matematykiem, ja fizykiem. Grywaliśmy w kości. Wrzucało się sześć kości do kubka, potrząsało i rzucało na dywan. Sumowało się liczbę punktów. Jak wyszło sześć szóstek, to był „poker” - najwyższy możliwy wynik. Typowa gra losowa lub, jak kto woli, hazardowa. Prawdopodobieństwo „pokera” wynosi jedna szósta do potęgi szóstej, t.j 1/46665. Liczba raczej mała. A jednak miewałem dni, kiedy wychodził poker za pokerem. Inni uczestnicy gry też takie passy miewali. Kolega matematyk się wtedy tym nie przejmował. Sfrustrował się chyba dopiero potem, bo rzucił matematykę i zajął się socjologią i polityką samorządową. Mnie to jakoś od początku wydało się podejrzane. Zacząłem więc studiować rachunek prawdopodobieństwa. Zarówno książki popularne jak i te fachowe tomiska. Jaki był tych mych studiów wynik? Naukowo zerowy. Jedno zdarzenie niczego „nie dowodzi”. A sto zdarzeń niczym się nie różni od jednego zdarzenia – wszystko zależy od tego jaką przestrzeń zdarzeń skonstruujemy, a to zależy już tylko i wyłącznie od naszej woli. I choć naukowo moje doświadczenia z grą kości (a także inne) niczego nie dowodziły, wpłynęły jednak na wybór i kierunek mojej pracy badawczej. Stanowiły nie tyle „informację” co „inspirację”. Później, gdy studiowałem historię nauki, dowiedziałem się wielu badaczy wybierało taki a nie inny kierunek badań kierując się przesłankami „irracjonalnymi”. Ich badania były czysto racjonalne, ale motywacja do nich była irracjonalna.
Z popularno-naukowej książeczki matematyka francuskiego Emila Borela „Przypadek i pewność” dowiedziałem się o „zakładzie Pascala”. Nasza Wikipedia nie jest tu chyba zbyt dokładna, jeśli idzie o matematyczną stronę zagadnienia, skupia się bowiem na stronie religijnej. Według mojej książeczki Pascal dowodził tak:
„Bóg albo istnieje albo nie istnieje”. Rozum nie ma tu nic do powiedzenia, nie pomoże nam w podjęciu decyzji. Pozostaje więc ocena sprzyjających i niesprzyjających szans tak by zabezpieczyć sobie największą wartość oczekiwaną wygranej. Jeśli uznamy istnienie Boga, nasza wygrana jest nieskończona (nieskończone błogosławieństwo). Naszą stawką są dobre ziemskie. Jakkolwiek wielkie by nie były – są skończone. Wynika stąd nieuchronny wniosek, że lepiej jest postawić na istnienie Boga, nawet wtedy, jeśli była by na to to szansa tylko w jednym przypadku na nieskończenie wiele.”
Emile Borel poświęcił temu zagadnieniu krótką publikację naukową (Comptes Rendus, 224, 1947, pp. 77-88) , w której dowodził, że Pascal popełnił błąd przyjmując, że iloczyn zera i nieskończoności jest większy od dowolnej skończonej liczby. W istocie, we współczesnym rachunku prawdopodobieństwa przyjmuje się, bo tak jest wygodnie, że zero razy nieskończoność to zero (patrz np. Loeve, „Rachunek Prawdopodobieństwa, Rozdz. II.5.1).
Zarówno rozumowanie Pascala jak i Borela nijak się nie mają do rzeczywistości. Rzeczywistość operuje bowiem nie zerem i nieskończonością a „bardzo dużym” i „bardzo małym”.
No dobrze, ale czy to co napisałem wyżej jest „prawdą”? A co to jest prawda? Odłóżmy problem prawdy na kiedy indziej i zajmijmy się mniejszym problemem: co to jest duże? Jak duże musi być coś by było „dużym”? Czy pięć złotych to dużo czy mało? Czy milion złotych to dużo czy mało? Cóż, wszystko zależy od kontekstu. A decyzja o tym czy dany kontekst jest adekwatny do danego problemu czy nie zależy od decydującego. Nie takie to proste. Porozmawiajmy więc o prostocie i o złożoności. Jak zdecydować czy coś jest proste czy złożone?
Który z tych dwóch ciągów jest mniej a który bardziej złożony?
000 czy 123?
Trudno powiedzieć, nieprawdaż? Za krótkie. A od jakiej długości o ciągu liczb już można powiedzieć, że jest „złożony” lub „przypadkowy”? Matematycy zastanawiali się nad tym dawna. Ze znanych nazwisk: najpierw rosyjski matematyk, zasłużony w stworzeniu podstaw prawdopodobieństwa, Kolmogorov, a dzisiaj Amerykanin Chaitin. Zamiast rozważać ciągi liczb naturalnych wygodniej jest rozważać ciągi zer i jedynek. Chaitin stworzył cała teorię „złożoności” (ang. Complexity). Żeby nie wdawać się w szczegóły: skończony ciag zer i jedynek ma tym większą złożoność im dłuższy jest minimalny program komputerowy potrzebny na to, by ten ciąg wygenerować. A ponieważ komputer komputerowi nierówny, Chaitin zaproponował użycie tzw. Uniwersalnej Maszyny Turinga. Ponieważ o tych maszynach mało kto słyszał, padało też mało pytań pod adresem Chaitina. Matematycy i algorytmicy oczywiście słyszeli, ale ci są zajęci swoimi sprawami, więc definicja złożoności Chaitina rozpełzła się po świecie i zapadło dość powszechne przekonanie, że mamy nareszcie jednoznaczną definicję złożoności.
Kiedy zacząłem prace Chaitina sam studiować, przedzierać się przez gąszcz pojęć i definicji, byłem pełen podziwu. Kiedy jednak przez ten gąszcz w końcu przyszedłem, pojawiła się we mnie wątpliwość. Bowiem spostrzegłem, że maszyna Turinga maszynie Turinga nie równa. Zadałem więc samemu Chaitinowi pytanie, a brzmiało ono dokładnie tak (tłumaczę oczywiście z angielskiego):
„Czy prawdą jest, że: mając dane dwa ciągi a,b równej długości n istnieje (być może dziwna) Uniwersalna Maszyna Turinga, która przypisuje większą złożoność ciągowi a niż b, oraz istnieje inna (być może bardzo dziwna) Uniwersalna Maszyna Turinga, która przypisuje większą złożoność ciągowi b?”
Odpowiedź Chaitina była zwięzła:
Yes, that is correct.
Rgds,
GJC
Zatem, aby zdecydować matematycznie co jest złożone a co proste musimy najpierw zdecydować niematematycznie co uznajemy za dziwne a co nie.
Dziwny jest ten świat.
