Kwantowe Fraktale i Wycieczka do 4-go Wymiaru

W poprzednim blogu poruszyłem temat Kwantowych Fraktali. Dziś opiszę krótko jak doszło do ich odkrycia. Nie ja je odkryłem. Odkrył je, tak naprawdę, mój doktorant, Grzegorz Jastrzębski. Mówiłem mu po prostu co należy robić. Ale by to zrobić potrzebna była sprawność w symulacjach komputerowych, a ja, wtedy jeszcze, takiej sprawności nie miałem. Pan Grzegorz był zdolny i pracowity. Zabrał się więc do roboty. Od czasu do czasu do czasu bładził, wtedy podpowiadałem co robić dalej, gdzie są błedy itd. Nie miałem jednak pojęcia, że wynikiem będzie fraktal. Pierwsze otrzymane przez Pana Grzegorza fraktale nie wyglądały za bardzo jak fraktale, ot takie kropki i plamy na sferze. Pamiętajmy, że były to lata 1995-1996 i komputery nie były tak szybkie jak to jest dzisiaj. Pan Grzegorz miał kilka ważnych i oryginalnych pomysłow - to on wpadł na pomysł by badać tzw. operator Markowa. Na przykład, ja mu podsuwałem literaturę, a on znajdował w niej czasem perełki, które uszły mojej uwadze. Obronił z sukcesem swą pracę p.t. "Interacting classical and quantum systems. Chaos from quantum measurements", ale już do publikacji w jakimś recenzowanym czasopiśmie nie można było go namówić. Wybrał zawód nauczyciela, wyjechał, straciłem z nim kontakt. Od tego czasu zadanie kontynuowania tematu kwantowych fraktali spadło na mnie. Pan Grzegorz rozważał, za moją sugestią, najprostszą nietrywialną konfigurację detektorów (polaryzatorów) spinu - cztery detektory rozmieszczone w wierzchołkach regularnego czworoscianu - taka piramida o podstawie trójkąta. Czworościan foremny to jedna z brył Platońskich w trzech wymiarach, najprostsza z możliwych. Było więc rzeczą naturalną by zobaczyć jakiego rodzaju fraktale wyjdą dla inych brył Platońskich. Nauczyłem się więc programowania ( w języku Pascal). Mój kolega, spec od Javy, Rickard Oberg, przetłumaczył moje symulacje w Pascalu na Javę, i teraz każdy kto ma cierpliwość i przeglądarkę z Javą, może się sam pobawić generując kwantowe fraktale na swym własnym ekranie. Wystarczy pójść tutaj:

załadować applet, odczekać zanim się załaduje, nacisnąć File/New i wybrać jedną z pięciu figur. W konfiguracjach można zmienić wartość parametru (szerokość detektorów) i patrzeć jak się będzie wtedy zmieniał wymiar fraktalny. Umowne wartości parametru są ustawione tak, by fraktale miały możliwie bogatą strukturę. Jeśli to kogoś zainteresuje, podstawy teoretyczne można znaleźć w naszej wspólnej pracy "Quantum Jumps, EEQT and the Five Platonic Fractals"

Miast generować fraktala używając do tego generatora liczb losowach (fraktal powstaje wtedy z milionów "przypadkowych" punktów, można podejść do problemu inaczej, używając właśnie "operatora Markowa". Tworzymy wtedy obraz księżycowy, gdzie wysokość gór jest proporcjonalna do gęstości punktów. Oto przykładowy taki obraz:

Jak się powiedziało A, trzeba powiedzieć B. Dlaczego zatem ograniczać się do trzech wyniarów? Czwarty wymiar jest niezmiernie interesujący. Podczas gdy w trzech wymiarach mamy tylko pięć Platońskich brył, w czterech wymiarach mamy ich sześć (w wyższych wymarach robi się znów mniej ciekawie, czwarty jest szczególny pod tym względem)! Mamy tam m. in. piękny i tajemniczy obiekt - 600cell o 600 "ścianach" i 120 wierzchołkach, oraz obiekt dualny do niego, 120cell o 120 ścianach i 600 wierzchołkach. Z tym pięknem jest wszakże problem. Jak rzutować z czterech wymiarów na dwa (płaszczyzna ekranu) tak, żeby punkty nie powchodziły na siebie i nie powstał bohomaz? Coxeter znalazł piękny rzut 600-komórki. Oto obrazek który wygenerowałem używając przepisu Coxetera:

Oczywiście zacząłem badać fraktale kwantowe w czterech wymiarach. Nie było to wszak takie proste. Mechanika kwantowa, ta jaką znamy dziś, operuje w "zespolonych przestrzeniach Hilberta" - cokolwiek to może znaczyć. Zespolona przestrzeń n-wymiarowa ma 2n rzeczywistych wymiarów. Odejmijmy od tego jeden wyniar na unormowanie wektora stanu, odejmijmy jeszcze jeden wymiar na nieobserwowalną fazę wektora stanu, otrzymamy 2n-2. Dla n=2 mamy 4-2=2, to właśnie nasza sfera. Dla n=3 mamy 6-2=4. A nam potrzebne 3, bo sfera w czterech wymiarach ma trzy wymiary! Musiałem więc uogólnić formalizm mechaniki kwantowej, co zrobiłem używając do tego formalizmu algebr Clifforda (tak, tego samego Clifforda od "etyki wiary"!). Teraz przyszły trudności obliczniowe. Co innego jest robić symulacje komputerowe z czterema detektorami a co innego kiedy jest ich 120 lub 600 umieszczonych w wierzchołkach obiektu żyjącego w czterech wymiarach! Sczęśliwie komputery są dziś szybkie i mogłem mój plan urzeczywistnić. Wyniki nie byłe aż tak ciekawie optycznie jak to było w przypadku dwuwymiarowej sfery. Aby odczuć jak te fraktale wymagają trzeba by było przejść do metod używanych w trójwymiarowych grach komputerowych, a to już ponad moje siły, no i brak czasu.