W poprzedniej notce zabraliśmy się za wiosenne prace ogrodnicze. Przymierzaliśmy się do sadzenia P i Q – pędu i położenia. Jednak w międzyczasie pogoda się zmieniła – jak to z pogodą bywa. No i PH test wykazał, że na naszej glebie P i Q nie będą dobrze rosnąć. Trzeba P,Q zmienić, trzeba też znaleźć inne poletko.
P i Q są miłe oku, bo są samosprzężone. Ale są trudne do uprawy, bo w ich relacjach komutacji stoi urojone i:
[Q,P]=QP-PQ = iћ
To i źle się w naszych warunkach uprawia. Miast P,Q wybierzmy operatorki kreacji i anihilacji a*,a. Mając P i Q można sobie domowym sposobem zmajstrować a* i a. By sprawę uprościć w dalszym ciągu przyjmę stałą Plancka równą jedności (zawsze można sobie układ jednostek wybrać).
A majstrujemy tak:
a* = (Q-iP)/√2
a = (Q+iP)/√2
Teraz
[a,a*] = aa*-a*a = 1.
To znacznie milej, urojone i po prawej stronie zniknęło. Mała rzecz a cieszy.
Jeśli chcemy, możemy zawsze wrócić do P,Q:
Q=(a*+a)/√2
P=i(a*-a)/√2
Przejście od Q,P do a,a* możemy przedstawić działaniem macierzy. Q,P przedstawiamy jako wektor-kolumienkę
Q
P
Podobnie a*,a przedstawiamy jako kolumienkę:
a*
a
Wtedy formułkę
a* = (Q-iP)/√2
a = (Q+iP)/√2
możemy zapisać jako działanie macierzy
C=[1, -i;1, i]/√2
Przejście odwrotne dane jest macierzą odwrotną:
C-1 = [1, 1;i, -i]/√2
Użyłem literki C, bo jest to jedna z odmian tzw. transformaty Cayleya. Można tę odmianę znaleźć w tym dokumencie:
Ngo-Bao-Chau-Automorphic_Forms_on_GL2.
Gdzie indziej w sieci transformata Cayleya ma jedynki i urojone i inaczej poustawiane. Że a* i a lepiej rosną w naszych warunkach – o tym przekonamy się wkrótce.
Na koniec tej krótkiej i technicznej notki pytanie sprawdzające: jeśli para a*,a spełniająca
[a,a*] = aa*-a*a = 1
nam się nie podoba, jeśli chcemy ją zamienić na inną parę definiując na przykład,
a' = alpha a + beta a*
to jakie warunki muszą spełniać liczby zespolone alpha,beta by para a',a'* spełniała takie same relacje komutacji?
Zadanie jest trochę podchwytliwe, poprzez fakt, że a* ma być hermitowskim sprzężeniem a. Zaś hermitowskie sprzężenie liczb zespolonych to zwykłe ich zespolone sprzężenie.
Komentarze