Przypuśćmy, że mamy mały przydomowy ogródek (jeśli zdarzył nam się duży, wtedy wydzielmy małą część) i chcemy tam uprawiać małą mechanikę kwantową. Wybieramy się do sklepu ogrodniczego i tam kupujemy małą przeliczalnie wymiarową (fachowo: ośrodkową) przestrzeń Hilberta. Sprzedawca oznajmia nam, że małych nie ma, że jest tylko jeden producent i wszystkie są takie same (izomorficzne). Podchodzimy do półki i wybieramy sobie parę operatorów samosprzężonych: Q i P. Baczymy uważnie, by para była odpowiednia, tzn. by spełniały podstawowe dla mechaniki kwantowej relacje (kanoniczne relacje komutacji):
[Q,P]=QP-PQ = iћ
W domu okazuje się, że kupione w sklepie operatory nam źle rosną. Co robić? Znów iść do sklepu? Szukać innej pary? Innego ogrodnika? A od czego pomysłowość. Para P,Q nam nie pasuje, więc konstruujemy inna parę przez liniowe kombinacje, bo liniowe kombinacje w warsztaciku mamy:
Q' = aQ + bP
P' =cQ + dP
Ponieważ ma być nadal Q=Q*, P=P*, zatem a,b,c, d winny być liczbami rzeczywistymi. Musimy się jeszcze zatroszczyć o spełnienie kanonicznych relacji komutacji. Ma być
[Q',P']=Q'P'-P'Q' = iћ
No to rachujemy
[Q',P']=[aQ + bP,cQ + dP]=[aQ,cQ]+[aQ,dP]+[bP,cQ]+[bP,dP]=
=ac[Q,Q]+ad[Q,P]+bc[P,Q]+bd[P,P]
Ale [Q,Q]=0, [P,P]=0, zaś [P,Q]=-[Q,P]
Zostaje więc
[Q',P'] = (ad-bc)[Q,P]= (ad-bc)iћ
A ma wyjść po prostu iћ , zatem musi być ad-bc=1. Nasze liczby a,b,c,d
muszą tworzyć macierz
a b
c d
o wyznaczniku 1. Takie macierze tworzą grupę, grupę symplektyczną oznaczaną Sp(2,R). To to samo co SL(2,R). Takimi macierzami już się zajmowaliśmy. Przypuśćmy, że taką macierz już wyprodukowaliśmy. Na przykład, z braku laku, próbujemy najpierw macierzy A równej
1 1
0 1
To najprostsze, co nam przychodzi do głowy. W sklepie z macierzami takie macierze leżą na półce z macierzami górno-trójkątnymi.
Mamy macierz, zatem mamy nowe P',Q'
W naszym konkretnym przypadku
Q' = Q+P
P' = P
Wtedy poprzednia notka (twierdzenie Stone'a- von Neummanna) zapewnia nas, że istnieje w naszej przestrzeni Hilberta operator unitarny, nazwijmy go U, taki, że
Q' = UQU-1
P' = UPU-1
Zapewnienie, że taki istnieje dodaje nam otuchy, pojawia się jednak pytanie praktyczne: a jak go znaleźć? Chcemy mieć metodę znajdowania takich U dla każdej symplektycznej macierzy A, a nie tylko tej pierwszej z brzegu. Inaczej z uprawiania mechaniki kwantowej w domowym ogródku będą nici.
A rzecz jest ważna, bowiem rozwój w czasie, w mechanice klasycznej Hamiltona odbywa się właśnie poprzez macierze symplektyczne. Zaś w mechanice kwantowej z kwadratowymi hamiltonianami, czym się ostatnio trochę paraliśmy, rozwój paczek falowych w czasie odbywa się przez operowanie odpowiednimi macierzami unitarnymi.
Problem jest do rozwiązania, nie taki znów prosty, jednak, przy pomocy przyjaznych sąsiadów problem rozwiążemy.
I zagadka: To nasze wymyślone na poczekaniu
Q' = Q+P
P' = P
Jaki to ma związek z ruchem swobodnym (jednostajnym)?
