Kwantowy Jontek – czy to wyjątek? Rozwijam wątek: Moniuszkowa Halka to klasyka. Gdzie tu kwanty? Kwantowa Halka czeka dopiero na swe napisanie, jednak pierwsze kroki w tym kierunku można, a nawet należy, już zrobić. Idzie o Jontka i o Halinę. I nie o gniazdeczko i ptaszka
„Po gniazdeczko biegłem nad przepaście,
Bym ci ptaszę dał. „
Ani nie o koralików sznur, choć nano-kwantowe koraliki z pewnością w kwantowej wersji Halki wystąpią.
Idzie o coś poważniejszego, idzie o to:
„Oj, Halino, oj, jedyna
Dziewczyno moja!
Moja Halko ty jedyna,
Ty dziewczyna moja. „
Idzie o jedyność. I to bez wyjontków Idzie o kwantowy opis zjawisk. Czy jest jedyny? A może jest ich wiele? I różne prowadzą, lub mogą prowadzić, do różniących się od siebie przewidywań?
Otóż kwantowa Halka, gdy pozna twierdzenie Stone'a-von Neumanna, nie będzie się oglądać za paniczami, w rezultacie nie będzie się nigdzie rzucać, pozostanie Jontkowa. Od czasu do czasu Jontek zmieni strój: a to ubierze się w szatę Schrodingera, a to w strój Focka czy Bargmanna, czasem zatańczy taniec Wignera – no i będzie kwantowo wesoło. Problemy pozostaną jedynie dla paniczów, tych z wyższego szczebla, tych, których stać na nieskończoną liczbę stopni swobody.
A cóż to jest to Twierdzenie Stone'a-von Neumanna? Twierdzenie zapewniające jedyność. Jedyność czego? I w imię czego?
Zanim to krótko objaśnię, uprzedzę z góry, że przyda się ono do przenoszenia ze świata klasycznego do świata kwantowego tego, co wiemy o grupie symplektycznej, a grupą symplektyczną zajmowaliśmy się od dłuższego czasu. Z grupy symplektycznej zrobi się grupa metaplektyczna. Wejdziemy o jeden stopień poznania wyżej! Na gór szczyty! Tam, gdzie tak pięknie szumią jodły.
W polskiej Wikipedii też to hasło możemy znaleźć: Tworzenie Twierdzenie Stone'a-von Neumanna. Tyle, że chętnych do tworzenia nie ma. Czy takie nieistotne? Ależ skąd! Jedno z najistotniejszych! Wikipedystów zastępować nie zamierzam, nie zamierzam też być ścisły. Przeciwnie, zamierzam być rozwiązły. Trzask-prask i po wszystkim. Problem rozwiązłany w paru zdaniach!
Mechanika kwantowa opiera się na kanonicznych relacjach komutacji. Idzie o to by znaleźć dwa operatory Q i P, nieprzemienne, spełniające relacje
QP-PQ = iћ
Q i P winny być samosprzężone: Q=Q*, P=P*. Po prawej jest stała Plancka pomnożona przez urojone i. Już o tym pisałem. Widzieliśmy ( a było to w listopadzie ) przykład takich macierzy. Wystarczy znaleźć macierze a i a* takie, że aa* - a*a = 1,
wtedy zdefiniować
Q = (a* + a)/√2
P = i(a* - a)/√2
i problem z głowy. Inny przykład, to wziąć za Q operator mnożenia przez zmienną:
Qf(x)=xf(x)
zaś za P operator różniczkowania po tej zmiennej (pomnożony przez -i):
Pf(x) = -idf(x)/dx.
Twierdzenie Stone'a-von Neumanna mówi o tym, że jeśli mamy dwie takie pary P,Q i P',Q', to, pod warunkiem, że pary te są „nieredukowalne”, istnieje unitarny operator U (tzn. izometria przestrzeni Hilberta) taki że jedną parę otrzymuje się z drugiej przez transformację „podobieństwa”:
Q' = UQU-1
P' = UPU-1
Jeden operator U upodabnia jedną parę do drugiej. Co więcej (wciąż przy warunku nieredukowalności) takie U nie tylko istnieje ale jest też jedyne z dokładnością do stałego współczynnika: liczby zespolonej o module 1.
W szczególności kwantowa Halina Q, jak znalazła Jontka P, to nie musi szukać innego chłopca P', bowiem z góry wie, że związek Q,P' będzie podobny do związku Q,P.
Operator unitarny U to izometria, zachowuje iloczyny skalarne, a ponieważ wszystkie prawdopodobieństwa w mechanice kwantowej oblicza się przy pomocy iloczynów skalarnych, to U gwarantuje przekład z jednej metody, opartej na Q,P, na inną metodę, opartą na Q',P', i wszystkie wnioski fizyczne będą te same. Mechanika kwantowa jest jedna jedyna. Halka nie musi się rzucać, na paniczów nie będzie się nawet oglądać. No, pod warunkiem, że ma tylko skończoną liczbę stopni swobody. Twierdzenie powyżej podałem tylko dla jednego stopnia swobody, ale obowiązuje też dla dowolnej skończonej liczby stopni swobody.
W kolejnej notce zajmiemy się zastosowaniami tego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności.
Jeszcze tylko co to ta „nieredukowalność”? Na różne sposoby można to formułować. Na przykład tak: Q i P : jeśli jakiś operator jest przemienny zarówno z Q jak i z P, to może być jedynie wielokrotnością operatora jednostkowego. Lub, równoważnie, idzie o to by kwantowy związek QP-PQ = iћnie dał się rozbić na kilka pomniejszych związków.
