A dokładniej: królik nie byle jaki. Królik symplektyczny. Skąd się królik wziął? A skąd wszystko się bierze? Jedni mówią, że z chaosu, inni, że to wszystko przez Kosmiczna Inteligencję. Jeszcze inni …. Nie pamiętam już tego co mówią jeszcze inni. Pamięć zawodzi. Ale pamięć można, nawet trzeba, trenować. Więc przypomnę: jeszcze w listopadzie ubiegłego roku pojawiła się notka Króliki w symplektycznych kapeluszach i ludzka natura. Pod notka była nawet dyskusja. W dyskusji uczestniczyli m.in. Tichy i Bjab. A w notce grubą czcionką stało:
Udowodnić, że wyznacznik każdej macierzy symplektycznej jest równy +1.
Problem życiowo niezmiernie ważny. Dlaczego? Bowiem w mechanice mamy do czynienia z ewolucją opisywaną macierzami symplektycznymi. Wyznacznik równy +1 oznacza zachowanie w czasie zorientowanej objętości w przestrzeni fazowej.
Dziś kwiecień roku bieżącego. Listopad był jedenasty, kwiecień jest trzynasty. Cztery miesiące. Niby nic, a jaki szmat czasu!
W poprzedniej notce Kwantowa Pandora Hamiltona pojawiła się macierz symplektyczna M(t). Napisałem „Macierz M(t) jest macierzą rzeczywistą o wyznaczniku 1. Skąd to wynika? „
No i skojarzenia zawiodły. Nikt, nawet Tichy, nie skojarzył, że warto wrócić do listopada. Miast tego Bjab rozwinął radosną twórczość o „podobieństwach”. Radosną twórczość lubię. Sam taką staram się uprawiać.
Wiemy zatem skąd się wziął królik. Ale skąd orbita?
Żarty na bok. Kontynuujemy temat napoczęty w poprzedniej notce. Interesują nas macierze rzeczywiste X, 2x2, o własności:
JX + XTJ = 0
gdzie J jest macierzą
0 1
-1 0
Każda taka macierz definiuje dynamikę:
z(t) = M(t) z(0)
gdzie M(t) = exp (tX)
Od razu z tego wynika, że M jest macierzą symplektyczną:
MJMT= J.
Nasze zadanie: różne dynamiki poklasyfikować, zorganizować. Kto czytał w dzieciństwie (albo mu Mama czytała) Kubusia Puchatka, ten wie, że królik do organizacji aż się pali!
Warunek JX + XTJ = 0, gdy się go rozpisze, jest równoważny temu, że ślad macierzy X jest zerem. Każdą macierz 2x2 o śladzie równym zero można zapisać w postaci:
-y x+z
x-z y
Czemu tak właśnie zapisałem? Czemu nie
b c
-a -b
jak to napisał Bjab w komentarzu pod poprzednią notką?
Mam ku temu swoje powody. Za chwilę te powody się same ujawnią (no, nie tak całkiem „same”, ujawnią się, i to tylko po części, na skutek nacisków specjalnie powołanej komisji parlamentarnej, samej będącej naciskaną).
Macierze o śladzie zero tworzą algebrę Liego. Oznacza to tyle, że komutator dwóch macierzy o tej własności ma też tę własność. Gdy X,Y są macierzami o śladzie zero, to ich komutator [X,Y]=XY-YX też ma tę własność. Czemu? Bo komutator dowolnych dwóch macierzy ma zawsze ślad zero. To podstawowa własność śladu: Tr(XY)=Tr(YX). Gdzie Tr to „trace”, „ślad”, suma elementów na głównej przekątnej.
Ta algebra Liego ma swoje oznaczenie. Jedni zapiszą ją jako sp(2,R), inni jako sl(2,R), jeszcze inni jako sp(1), co zresztą jest tym samym co su(1,1). W matematyce, w odróżnieniu od fizyki, nie działają specjalne komisje normalizacyjne ( i dzięki Bogu). Dlatego z oznaczeniami w matematyce mamy prawdziwą demokrację i twórczy chaos. Matematyka da się kochać. Fizyka często może wkurzyć.
Zajmujemy się więc algebrą Liego sp(2,R) (tego oznaczenia będę się trzymał). Nawet nie wiemy, że mówimy prozą. I każdy element tej algebry możemy zapisać w postaci:
-y x+z
x-z y
A przecież x,y,z to współrzędne punktu w dobrze nam znanej trójwymiarowej przestrzeni! Zatem nasza algebra Liego sp(2,R) to dobrze nam znana zwykła, poczciwa, trójwymiarowa przestrzeń, i wszystko tam można namalować i na obrazku przedstawić. Jak miło!
Chcemy nasze punkty trójwymiarowej przestrzeni zorganizować i poklasyfikować, według klasyfikacji opartej na strukturze sp(2,R). Interesuje nas kiedy dwie macierze X,Y o śladzie zero są podobne? Tzn. kiedy istnieje odwracalna macierz M taka, że
Y = MXM-1.
Może nas także interesować odpowiedź na trudniejsze pytanie: kiedy istnieje symplektyczna macierz M o tej własności? Gdy macierz X ustalimy i będziemy przebiegać przez wszystkie symplektyczne macierze, wtedy macierze Y leżą na orbicie elementu X. Tak to się nazywa. Ładnie. Mamy więc orbity. Chcemy je namalować.
Z podstawowej własności wyznacznika wynika, że wyznacznik macierzy Y jest równy wyznacznikowi macierzy X. Wszystkie macierze z jednej orbity mają ten sam wyznacznik. Różne wartości wyznacznika – znaczy różne orbity.
Zatem zabieramy się za wyznaczniki. Teraz wyjdzie szydło z worka. Wyjdzie czemu zapisałem macierz X w postaci
-y x+z
x-z y
Gdy policzymy wyznacznik dostaniemy
det X = z2– x2 -y2.
Wyznacznik może być dodatni, ujemny, lub zero. Mamy więc trzy przypadki, trzy typy orbit (tak naprawdę cztery, ale to mały drobiazg, wrócimy do tego):
1) det X = z2- x2 - y2 = r2 > 0
2) det X = z2 - x2 - y2 = - r2 < 0
3) det X = z2 - x2 - y2 = 0
Aż się prosi by zacząć to malować. Ale to już w następnej notce.
A może ktoś sam potrafi te orbity namalować? Włącznie z królikiem ...
