Kwantowa Pandora Hamiltona

Zadał BJAB pod ostatnią notką niewinne pytanie: „Czy pojedyncza kropla, w czasie, obraca się wokół (0,0) ?” No i otworzył puszkę Pandory.

Puszka Pandory ma wersję lekką:

ale ma też wersje poważniejsze. Jak ta:

Ta poważniejsza ma więcej kolorów, więc za nią się zabierzmy. Czy kropla, w czasie, się obraca? W jakim czasie? Skąd tu czas? Czas to wąż, czas to skorpion. Z czasem trzeba ostrożnie, bo gryzie!

Czas to pozorny (albo i nie) ruch Słońca. To ruch planet, to fazy Księżyca. Czas płynie nieubłaganie a wraz z czasem wszystko ulega zmianie. Interesują nas zmiany mechaniczne, takie opisywane równaniami ruchu Newtona. Jednak Newton to fizyka klasyczna, a my pętamy się wokół mechaniki kwantowej. Najbliższe mechanice kwantowej jest ujęcie równań ruchu nie w formie Newtona: przyśpieszenie i siła, lecz w formie Hamiltona. U Hamiltona podstawowa jest przestrzeń fazowa: położenia i pędy. Zarówno położenie jak i pęd zaczynają się od literki „p”. Tak ja „puszka” i tak jak „Pandora”. A przestrzeń fazowa z angielska nazywa się „phase space”. Jeszcze jedno „p”. Za dużo tych p by można było obarczyć winą przypadek. Ooo, przypadek, jeszcze jedno p. A wszystkie siedzą w jednej puszce! Język polski dziwny jest.

Zajmiemy się przypadkiem najprostszym, gdy mamy jeden tylko stopień swobody: cząstka porusza się po linii prostej. Położenie oznaczymy literką q, pęd literką p. W ujęciu Hamiltona by zadać dynamikę nie zadajemy sił, jak to było u Newtona. Zadajemy energię jako funkcję od q i od p. Potrzebna nam jest więc funkcja H(q,p). Zazwyczaj jest to suma energii kinetycznej i potencjalnej. Zazwyczaj energia kinetyczna to po prostu p²/2m, zaś energia potencjalna to jakieś V(q). Wtedy

H(q,p) = p²/2m + V(q).

Ale my lubimy matematyzować i uogólniać, nic więc nie stoi na przeszkodzie by rozważyć dowolne H(q,p). A nuż widelec się przyda? Bo zwyczaj – zwyczajem, a odchylenia od zwyczajów nie są bynajmniej tak rzadkie!

Równania ruchu w formie Hamiltona mają postać (obrazek z Wikipedii):

My zajmujemy się jednym stopniem swobody, więc indeks imożna sobie darować.

Areną na której się wszystko odbywa jest przestrzeń fazowa. To pary (q,p). Para tworzy jedno małżeństwo. Małżeństwo wypada oznaczyć jedną literką. I tu mamy problem. Mógłbym użyć jakiejś greckiej literki. Ale z tymi trzeba się specjalnie obchodzić. Póki co użyję więc literki z dla oznaczenia pary (q,p).

Co więcej, to z będę traktował jak wektor kolumienkę. Mamy więc dwuwymiarową przestrzeń ze współrzędnymi q,p, W niej wektory z. Taki wektor z ma dwie składowe z₁,z₂ :

z₁= q

z₂= p

Powróćmy do dynamiki Hamiltona. Chcemy zapisać parę równań jedną formułą. Matematycy to lubią. Fizycy też. Czy Przyroda to lubi? Dobre pytanie.

Zajmowanie się ogólną dynamiką to problem nie na nasze siły. Uprośćmy więc sobie. Inaczej wpadniemy do puszki i już się z niej nie wygrzebiemy. Skorpiony nas zakłują. Zatem ostrożnie, ubieramy się w skorpiono-odporny kombinezon i ograniczmy się do kwadratowych Hamiltonianów.

Co to jest kwadratowy Hamiltonian? Czemu kwadratowy a nie okrągły? No a czemu funkcja kwadratowa nazywa się kwadratowa?

Kwadratowy Hamiltonian to taki, co jest funkcją kwadratową (wielomian drugiego stopnia od p i q. Używając z-tów możemy taki Hamiltonian zapisać jako:

H = (1/2) z^T h z

gdzie h jest macierzą symetryczną (będziemy zakładać, że jej składowe nie zależą od czasu t). H jest funkcją kwadratową od z, zatem pochodne H po z będą funkcjami liniowymi

W jednym z równań Hamiltona jest minus. W drugim z nich go nie ma. Stąd się bierze idea wprowadzenia macierzy J zdefiniowanej jako

0 1

-1 0

Zauważmy, że J^T=-J, J² = -1.

Teraz nasze równania dynamiki Hamiltona dają się zapisać jednym równaniem:

dz/dt = Jh z

Oznaczmy Jh = X.

Macierz h jest rzeczywista i symetryczna. Stąd wynika, że macierz X ma własność

JX + X^TJ = 0

Stąd wynika, że macierz X ma ślad 0. Wynika? A jak? A prosto. Zadanko do domu.

Na odwrót, każda taka macierz X definiuje kwadratowy hamiltonian. Wystarczy położyć h = -JX. Równania ruchu Hamiltona mają teraz prostą postać:

dz/dt = Xz

Takie równanie ma proste rozwiązanie:

z(t) = M(t) z(0)

gdzie M(t) = exp (tX)

Macierz M(t) jest macierzą rzeczywistą o wyznaczniku 1. Skąd to wynika? O tym w kolejnej notce. No, chyba, że ktoś potrafi sam do tego dojść.....

Na razie robimy dynamikę klasyczną. Ale to wszystko będzie jak znalazł także dla dynamiki kwantowej.