Jak bohater komedii Moliera, który przez długie lata nie wiedział, że mówi prozą, tak i my nie wiemy, że od dłuższego czasu zajmujemy się kwantowymi kroplami. Tak, tak. Molier napisał „Mieszczanin szlachcicem” a Maurice de Gosson napisał „Quantum blobs” czyli „Kwantowe krople - kropelki”.
Co to są te kwantowe krople de Gossona? To stany kwantowe o minimalnej nieoznaczoności, z dokładnością do obrotu i przesunięcia w przestrzeni fazowej. To nasze stany ściśnięte, nasze elipsy, choć na razie jeszcze ich nie przesuwamy, jedynie obracamy.
Mi się kwantowe krople bardzo podobają. Chcę z kawantowych kropli skonstruować kwantowy deszcz – de Gosson na pewno się z tego ucieszy. De Gosson jest moim znajomym z Research Gate. Ja śledzę wszystko co on pisze, on śledzi wszystko co ja piszę. Do zakończenia mojego deszczowego projektu już niedaleko. Już go kiedyś nawet napocząłem, choć nie wiedziałem jeszcze wtedy do czego zmierzam – bawiłem się matematyką. Dziś wiem – mówię prozą, konstruuję kwantowy deszcz. Może nawet kwantową ulewę.
Powróćmy zatem do naszej poprzedniej notki i teraz, wiedząc już, że obrabiamy kwantową kroplę, z nową energią rozwiążmy nasz eliptyczny problem. Przypomnę: mamy równanie
(u2+v2)x2+ p2+ 2pvx -u = 0.
i chcemy w nim zobaczyć elipsę. Podstawiamy
z = u+iv
w = (z-1)/(z+1)
w = r exp(iφ )
Teraz jest trochę algebraicznej roboty. Trochę żmudna. Zaprzęgamy więc do pracy komputer. Ten znajduje nam od razu wektory własne i wartości własne symetrycznej macierzy definiującej nasze równanie. Wartości własne to:
(1+r)/(1-r)
(1-r)/(1+r)
Wektory własne to
(cos φ/2, sin φ/2)
(-sin φ/2, cos φ/2)
Już teraz widać, że transformata Cayleya się opłaciła. Wprowadźmy
a = √(1-r)/√(1+r)
b= √(1+r)/√(1-r)
Nasze równanie możemy zapisać teraz jako
(x'/a)2 + (y'/b)2 = 1
gdzie
x' = x cos φ/2 +p sin φ/2
y' = -x sin φ/2 +p cos φ/2
Kto nie wierzy, może podstawić i sprawdzić. Teraz a,b to półosie kwantowej kropli, φ/2 to kąt obrotu.
Poleciłem programowi Mathematica namalować konturowe wykresy ośmiu kwantowych kropli dla r = 1/2:
ContourPlot[Table[fc/.{ρ->1/2,ϕ->i*2Pi/8},{i,0,7}],{x,-2,2},{p,-2,2}]
Wysmarował mi coś takiego:
Ładne to-to, ale eliptyczne krople trudno tu dojrzeć. Więc kazałem namalować tylko jedną dla φ = 2 Pi/8. Oto co wyszło:
Programy są nieobliczalne!
Mówi się, że jedna kropla deszczu nie czyni. Nawet osiem to za mało na deszcz. Trzeba będzie więc popracować, uruchomić masową produkcję kwantowych kropli.
