Od czasu do czasu podczytuję to i owo. Ostatnio wpadła mi w ręce broszurka Borysa Didenko: ЧЕЛОВЕКООБРАЗНЫЕ ХИЩНИКИ И ПАРАЗИТЫ
Краткий курс теории Поршнева-Диденко. Zaczyna się od cytatu:
Ваш отец диавол; и вы хотите исполнять похоти отца вашего. Он был человекоубийца от начала и не устоял в истине, ибо нет в нем истины. Когда говорит он ложь, говорит свое, ибо он лжец и отец лжи.
Евангелие от Иоанна
Po naszemu brzmi to tak:
Joh 8:44 Wy macie diabła za ojca i chcecie spełniać pożądania waszego ojca. Od początku był on zabójcą i w prawdzie nie wytrwał, bo prawdy w nim nie ma. Kiedy mówi kłamstwo, od siebie mówi, bo jest kłamcą i ojcem kłamstwa.
Brzmi to ciężko i poważnie. Zajmijmy się więc lepiej elipsami i tam dochodźmy do prawdy. Łatwiej ją tam znaleźć, i trening dobry. A dla rozluźnienia zacznijmy od kociej mruczanki:
Teraz, już na luzie, możemy zająć się kwantowymi elipsami. Bo elipsy są wścibskie wszędobylskie, zatem i do świata kwantów się dobrały.
Interesują nas, od dłuższego czasu szczególne stany kwantowego oscylatora. Opisywane są paczkami falowymi:
Ψu,v(x) = (u/π)1/4 exp(-(u+iv)x2/2) , u>0, z=u+iv.
Pisałem o nich ostatnim razem w notce Kwantowa eliptyczna głębia.
Widać tu funkcję Ψ, ale elipsy nie widać. Jak ją tu zobaczyć? Tu jej nie zobaczymy. Najpierw robimy transformację Wignera i od funkcji od jednej tylko zmniennej, położenia x, przechodzimy do funkcji od dwóch zmiennych (x,p). Pisałem o tym w cytowanej notce. Dostajemy funkcję:
P(x,p) = (1/π ) exp(- ( (u2+v2)x2+ p2+ 2pvx ) / u )
A elipsy dalej nie widać! Pisałem dalej:
Tym razem nasza poziomnica będzie miała równanie
( (u2+v2)x2+ p2+ 2pvx ) / u = 1.
Mnożąc obie strony przez u dostajemy
(u2+v2)x2+ p2+ 2pvx -u = 0.
Jest to funkcja kwadratowa od x i p. Opisuje jakąś krzywą stożkową. Uprzedzę z góry, że będzie to elipsa.
No już dobrze, namaluję taką jedną dla u=1,v=1:
Teraz już elipsę widać, ale dalej nie wiemy skąd się wzięła. I namalowałem ją nie ja tylko program Mathematica. Dałem mianowicie komendę:
ContourPlot[2x^2+p^2+2p*x-1==0,{x,-2,2},{p,-2,2},
Background->Black]
No i program, wiele nie myśląc, komendę wykonał. A my chcemy zrozumieć. Zobaczyć to jedno, obrazek może zainspirować myślenie, ale myślenia nie zastąpi.
Czasem wstępem do zrozumienia jest zakwalifikowanie sprawy do jakiejś znanej i zbadanej kategorii. W naszym przypadku jest to kategoria: formy kwadratowe. Polska Wikipedia jest tu bardzo biedna, wiele się z niej nie dowiemy. Warto zajrzeć do angielskiej, pod hasło Principal axis theorem – Twierdzenie o osiach głównych. Mamy tam nawet przykładzik zrobiony. Przykładzik – przykładzikiem, ale nam ten przykładzik nie pasuje, bo oni mają konkretne liczby: 5, 8, 5, zaś u nas są dowolne parametry u,v. Niemniej spróbować zmałpować możemy. Bierzemy nasze równanie:
( (u2+v2)x2+ p2+ 2pvx ) / u = 1
Zapisujemy w postaci:
( (u2+v2)x2+ p2+ vxp +vxp ) / u = 1
I budujemy macierz formy kwadratowej:
(u2+v2)/u v/u
v/u 1/u
Małpując dalej musimy teraz znaleźć wartości własne i wektory własne tej macierzy. Ja to ćwiczonko zrobiłem i stwierdziłem, że wzory wyszły dość koszmarne. A kiedy wzór wychodzi koszmarny, znaczy „nie tędy droga!”. Lubimy prostotę i, z nieznanego dokładnie powodu, sądzimy, że i w przyrodzie wszystko powinno być proste, nawet dziecinnie proste. Jak coś jest brzydkie i skomplikowane, znaczy źle się do tego zabieramy. Co nie oznacza, że wszystko co proste jest prawdziwe! 2+2=5 jest proste, ale prawdziwe nie jest.
Co jest proste a co skomplikowane, to rzecz w dużym stopniu subiektywna i zależna od doświadczenia. Po dziesięciu latach jazdy samochodem parkowania jest proste. Ale na pierwszym egzaminie na prawo jazdy na parkowaniu wielu pada. Ja, gdy musiałem zdawać egzamin na prawo jazdy na Florydzie (bo mi polskie prawo jazdy wyekspirowało), padłem za pierwszym razem na parkowaniu nawet pomimo dwudziestu lat praktyki. No, bo musiałem parkować tyłem mikrobus (van), czego nigdy przedtem nie robiłem. Mój trzeci w życiu egzamin na prawo jazdy zdawałem we Francji – i tu mi poszło dobrze, pomimo tego, że francuskim nie władam (z wyjątkiem francuskiego matematycznego). Zrozumiałem nawet gdy egzaminator polecił mi bym się w końcu zatrzymał!
Po tej dygresji możemy wrócić do naszej formy kwadratowej, tej co nie chce prowadzić do prostych formuł. Ale o tym już w następnej notce.
