Kwantowa chmurka
weszła od podwórka
za nic mając sobie
klasyczne kły Burka.
Chmury dziwne bywają. Czasem kręcą się w kółka:
Chmurkę, utrwaloną migawką aparatu, spotkaliśmy w poprzedniej notce Kwanty nie na żarty. Statyczna fotka specjalnie nie imponowała:
Ot, plamka, mająca przedstawiać rozmytą sprężynkę molekuły wodoru. Rozmycie jest kwantowe. Klasycznie można oscylującą molekułę przedstawiać albo jako punkt w przestrzeni fazowej, albo jako okrąg reprezentujący mniej więcej rozmiary sprężynki, ale nie mówiący nic więcej o tym co może się znajdować w jego środku. Nie mamy pojęcia co jest we wnętrzu jądra, nie mamy pojęcia co jest we wnętrzu elektronu, nie mamy pojęcia jak i dlaczego elektron jest uczepiony do jądra. Dokładniej: pojęcie mamy, ale bardzo rozmyte i nie całkiem sensowne, trochę klasyczne, trochę kwantowe. Jak się nie ma co się lubi, to się lubi co się ma.
Chmury nabierają życia gdy płyną, a płyną wraz z czasem. Czas zatem uruchomić czas. Czas już raz usiłowaliśmy uruchomić, tyle, że uparł się i nie chciał popłynąć. Było w to w notce Uparty kwantowy oscylator. Napisałem tam: „Stan oscylatora kwantowego o określonej energii nie zmienia się w czasie. Taki oscylator za Boga nie oscyluje. Uparł się i stoi w miejscu. Więc co to za oscylator?”
Dziś będziemy chytrzejsi. Nie wymagamy, by stan kwantowy miał „określoną energię”. Miast tego bierzemy kwantowy stan koherentny. Przypomnę co to za Burek wracając do notki Kwantowe egzorcyzmy. W reprezentacji Segala-Bargmanna taki stan opisywany jest funkcją od jednej zmiennej zespolonej z:
Fw(z) = exp( wz / √2 ) / exp( ( u2+v2 )/4 ),
w = u+iv.
Parametry u,v to współrzędne środka chmurki. Na obrazku wyżej u=2,v=2. Czynnik exp( ( u2+v2 )/4 ) w mianowniku nas nie interesuje. On jest tylko dla normalizacji. Opuśćmy go i poprzestańmy na
Fw(z) = exp( wz / √2 )
Jako funkcja od z jest to funkcja eksponencjalna. A funkcja eksponencjalna jest definiowana przez szereg. Nawet Wikipedia o tym wiem i ma pod ręką odpowiedni wzór:
U nas zamiast zn będzie wn zn/√2n. Mamy więc sumę potęg zn ze współczynnikami. Pamiętajmy, że pracujemy w reprezentacji Bargmanna-Segala. Tam potęgi z-ta są są stanami o określonej energii. Funkcja znma jest stanem o określonej energii En = n+1/2. Nasz stan jest więc superpozycją
(tak w mechanice kwantowej nazywamy sumy różnych funkcji falowych) stanów o wszelkich możliwych energiach! W notce o upartym oscylatorze pisałem: cała zależność od czasu sprowadza się do mnożenia przez exp(-iEt)
Zatem każde będzie się mnożyło przez
exp(-iEt) =exp(-iEnt)=exp(-i(n+1/2)t)=exp(-it/2) exp(-int)=exp(-it/2)exp(-it)n.
Współczynnik exp(-it/2)jest wspólny dla wszystkich wyrazów szeregu. Wyciągamy go przed szereg i ignorujemy – to nieobserwowalna globalna faza. W szeregu będziemy więc mieć człony wnexp(-it)nzn, które chytrze zapiszemy jako (exp(-it) w)nzn.
Innymi słowy: dla stanów koherentnych ewolucja czasowa sprowadza się do obracania parametru w=u+iv. Będziemy mieć u(t)=cos(t)u(0)+sin(t)v(0), v(t)=cost(t)v(0)-sin(t)u(0). Zatem nasza chmurka będzie się kręcić w kółko zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Co i wymodelowałem:
Jednak w porównaniu do prawdziwych chmur z filmu na początku notki nasza chmurka jest jakoś zbyt okrągła …. Coś z tym trzeba będzie zrobić.
Komentarze