Choć od dłuższego czasu rozmawiamy o mechanice kwantowej, robimy to na dość abstrakcyjnym poziomie. Wynika to z faktu, że w mechanice kwantowej nie wystarcza znajomość dodawania i mnożenia. Pojawia się tam algebra, całki, pochodne …. Pojawia się matematyka już nie na przedszkolnym poziomie. Czy należy się temu dziwić? A czemuż to przyroda miała poprzestać na dodawaniu i mnożeniu? Przyroda dziwna jest i naszą rzeczą jest ja badać a nie narzucać jej naszych ograniczeń. A dokąd jeszcze nas te badania zaprowadzą? Tego w najśmielszych nawet przewidywaniach nie wymyślimy. Pozostaje głowa otwarta i odwaga, potrzebna także odporność na zawroty głowy.
Jednak matematyka to jedna strona medalu, rzeczywistość to druga. I te dwie strony trzeba od czasu przymierzyć jedną do drugiej. Więc dziś proponuję próbę takiej przymiarki.
Pisałem o oscylatorze kwantowym. Dobrze jest przyjrzeć się jakiemuś przykładowi. Proponuję molekułę wodoru.
Atom wodoru, jak tego uczymy się na chemii, ma jeden proton (to jądro atomu wodoru) i jeden elektron. Proton ma ładunek elektryczny dodatni, elektron ujemny. Przyciągają się, tworzą atom. Jednak atomy wodoru nie lubią żyć w samotności, lubią łączyć się w pary – wiążą się chemicznie tworząc wodór molekularny H2. Dwa atomy wodory są w pewnej niewielkiej odległości jeden od drugiego i ani zbliżyć się za bardzo jeden drugiego nie mogą, ani oddalić za bardzo. Są jakby połączone sprężynką – tworzą oscylator. Oscylator molekuły wodoru ma charakterystyczną podstawową częstość – śpiewa nutą o częstotliwości
f = 1.24 x 1014 Hz
ω = 2 pi f
Wysoki to ton.
Choć nasz molekularny oscylator składa się z dwóch atomów, można zawsze przejść do układu środka masy i traktować go tak jakby to jedna masa drgała na sprężynce – tzw. masa zredukowana. Masa zredukowana dla molekuły wodoru wynosi
m = 8.303 x 10-28 kg
Maleńka to masa.
A jak będą wyglądać funkcje falowe takiego oscylatora?
W notce Kwantowe egzorcyzmy opisywałem funkcję Wignera dla stanu koherentnego kwantowego oscylatora. Była tam formułka
I był obrazek – taki kapelusz
Jednak było to dla oscylatora bezosobowego. Teraz mamy jednak oscylator konkretny, molekułę wodoru, i trzeba kapeluszowi nadać odpowiednie rozmiary, by pasował.
W formule mamy wielkości bezwymiarowe: x,u,p,v. Trzeba je zinterpretować.
Naturalna skala dla naszego oscylatora wyznaczona jest przez długość
L0 = √ (ℏ /mω )
i pęd
P0 = ℏ/L0 = √ (ℏ mω )
Podstawiając tu nasze wartości dla molekuły wodoru znajdujemy:
L0 = 1.27 x10-11 m = 0.127 Å (Angstrem)
Zatem 10 L0 = 1.27 Å. I tak trzeba odczytać obrazek poniżej przedstawiający stan koherentny molekuły wodoru. Szerokość obrazka to trochę mniej niż 1 Å.
Nasza chmurka reprezentująca molekułę wodoru ma centrum w punkcie o współrzędnych (2,2) w jednostkach naturalnych. Skąd się to wzięło?
Otóż oscylator ma nie tylko charakterystyczną częstość drgań, ma on także pewną amplitudę. Skąd się ta amplituda bierze? Co wprawia oscylator w drgania? Rozumowanie jest takie: leci foton o rezonansowej częstości, oddaje swoją energię molekule. Ta zaczyna drgać. Leci drugi foton, i jak dobrze trafi, to jeszcze zwiększy amplitudę drgań. I tak przyjąłem na obrazku. Założyłem, że nasza molekuła oscyluje będąc trafioną przez dwa fotony. Dwa fotony mają energię E = 2 ℏ ω. Amplituda to pierwiastek z 2E. Pierwiastek z 4 to 2. W naturalnych jednostkach wychodzi amplituda 2. I tak tę naszą chmurkę namalowałem.
Chemicy oceniają rozmiar molekuły wodoru na ok. 0.7 Å . Narysowałem więc także tej wielkości okrąg.
No i teraz pytanie: czy lepiej modelować molekułę wodoru przez chmurkę mająca w przybliżeniu rozmiary prawdziwej molekuły wodoru, jak to robi mechanika kwantowa, czy też przez punkt o zerowych rozmiarach, jak to robi fizyka klasyczna?
W następnej notce uruchomimy czas i nasza chmurka zacznie płynąć.
