Rozmawiając o kwantowym oscylatorze nie zajmowaliśmy się dotąd biegiem czasu. Klasyczny oscylator to wiadomo: waha się tam i z powrotem. Zaś w przestrzeni fazowej zakreśla okrąg (ten mój, bo w zwykle przyjętych jednostkach zakreśla elipsę).
A co z tym kwantowym? Z kwantowym trzeba postępować jak z jajkiem. Rozwój w czasie jest opisywany równaniem Schrodingera. Formalnie to równanie można łatwo rozwiązać i rozwiązanie prosto zapisać (u mnie stała Plancka = 1). Wie o tym nawet nasza Wikipedia:
W mechanice kwantowej analizując rozwiązania niezależnego od czasu równania Schrödingera operujemy na niezależnych od czasu wektorach stanu Ψ . Analiza równania Schroedingera zależnego od czasu prowadzi do wektorów stanu zależnych od czasu, jednak jeżeli hamiltonian nie zależy od czasu to jest to prosta zależność postaci:
Tu pojawia się mała sprzeczność pomiędzy kierunkiem biegu czasu w Polsce i poza Polską. W angielskiej Wikipedii znajdziemy w wykładniku znak minus, a w polskiej jest znak plus. Czasy biegną w przeciwnych kierunkach. Przyjmę (choć to niepatriotyczne) konwencję zagraniczną.
To H z daszkiem to operator Hamiltona (energii). W naszym przypadku
H = (p2+x2)/2
gdzie p i q to operatory pędu i położenia. Gdy stan Ψ (0) to stan o określonej energii E, wtedy H Ψ =E Ψ i cała zależność od czasu sprowadza się do mnożenia przez exp(-iEt). To czysta faza. A globalna faza funkcji falowej jest nieobserwowalna. Stan oscylatora kwantowego o określonej energii nie zmienia się w czasie. Taki oscylator za Boga nie oscyluje. Uparł się i stoi w miejscu. Więc co to za oscylator?
Mamy problem. Rozwiązania będziemy szukać w następnej notce.
