W ostatniej serii notek opisywałem dziwne, nieklasyczne, zjawisko tunelowania dla kwantowego wibratora-oscylatora. Prawdopodobieństwa przetunelowania poza klasycznie dozwolony przedział okazały się zadziwiająco duże – co było niejakim zaskoczeniem nawet dla autorów znanych podręczników. Z teoretycznym wyjaśnieniem tego numerycznie wyliczonego efektu sam nie mogłem dać sobie rady. Zwróciłem się więc z apelem o pomoc w witrynie Physics Forums. Pomoc taka szybko nadeszła, w postaci formuły, jednak bez jej wyprowadzenia. Zjawił się tam też taki komentarz:
As for your particular finding here, it's for me just another proof that making unsubstantiated claims in textbooks is a pretty intelectually dangerous activity.
Gdy idzie o to, co w szczególności odkryłeś, jest to dla mnie jeszcze jeden dowód na to, że umieszczanie w podręcznikach nieuzasadnionych stwierdzeń jest działalnością intelektualnie niebezpieczną.
Ta sprawa zmierza zatem ku szczęśliwemu rozwiązaniu. Mam nadzieję, że autor formuły opisze w szczegółach jak do niej doszedł. Jednak pojawił się u mnie nowy problem, nowe „wiem, ale nie rozumiem.” Potrzebna będzie, być może, pomoc probabilisty z prawdziwego zdarzenia (Tichy, pomożecie?).
A oto mój zgryz.
Rozważaliśmy dotąd obserwacje położenia oscylatora. A jak to będzie gdy miast położenia będziemy obserwować pęd? W formalizmie mechaniki kwantowej jest na to łatwa odpowiedź: trzeba zrobić transformatę Fouriera funkcji falowej, wtedy otrzymamy funkcje falowe w reprezentacji pędowej. Kwadrat modułu transformaty Fouriera da nam wtedy gęstość prawdopodobieństwa znalezienia danej wartości pędu.
Z oscylatorem jednak mamy do czynienia z wyjątkową symetrią pomiędzy położeniem i pędem. W przyjętym przeze mnie układzie jednostek (masa 1, częstość 1, stała sprężystości 1) wyrażenie na energię oscylatora o pedzie p i położeniu x to
E = (p2 + x2)/2
Pełna symetria pomiędzy x i p. Zajmujemy się funkcjami falowymi przedstawiającymi stany kwantowego oscylatora o ustalonej energii. Ta symetria pomiędzy położeniem i pędem znajduje tam swoje odbicie. Okazuje się, że z dokładnością do współczynnika (-i)n, transformaty Fouriera funkcji falowych mają identyczną postać co same funkcje.
Dla ludzi zajmujących się analizą sygnałów jest to zjawisko chyba dość dziwne. Transformata Fouriera daje nam spektrum częstości składających się na dany sygnał. Zjawisko raczej to rzadkie by to spektrum częstości było identyczne z przebiegiem czasowym sygnału. Niemniej u nas tak jest.
Nie ma więc po co liczyć prawdopodobieństw tunelowania poza klasycznie dozwolone pędy. Wyniki będą dokładnie takie same jak dla położeń. Te same obrazki, te same wykresy, te same animacje.
Pozostaje jednak problem zrozumienia tego poprzez analizę oscylatora klasycznego. Popatrzmy jeszcze raz na animację, którą można interpretować jako gęstość prawdopodobieństwa rozkładu położeń, lub, alternatywnie, jako gęstość prawdopodobieństwa rozkładu pędów
Mamy tam krzywą w kształcie litery U. To wyliczony rozkład P(x) prawdopodobieństwa dla oscylatora klasycznego. Wyprowadzałem tę formułę w poprzedniej notce:
P(x)dx = dx/ (π √ (2E - x2) )
Argumentowałem, że z największym prawdopodobieństwem zaobserwujemy oscylator w pobliżu skrajnych położeń, bo tam oscylujący punkt przebywa najdłużej, na końcach wręcz się zatrzymuje i zawraca.
Jeśli jednak tak, to chciałoby się stąd wyciągnąć wniosek, że gdy będziemy obserwować prędkość, to najprawdopodobniej trafimy na prędkość bliską zera, bo takie prędkości są u skraju oscylacji. A tu nie! Ma wyjść, że najbardziej prawdopodobne mają być też prędkości skrajne! Ja tego nie rozumiem! Pewnie rzecz w tym co rozumiemy przez prawdopodobieństwo i jego wyznaczanie. Dlatego wołam Tichego na pomoc. Zresztą być może i probabilisty nie trzeba, być może wystarczy racjonalne i chłodne myślenie BJABA?
Formalnie można łatwo uzasadnić dlaczego formuły na gęstości prawdopodobieństwa pędów i położeń są takie same. Na przykład tak: przyjmując amplitudę równą 1, położenie i pęd zmieniają się w czasie według formuł:
x(t) = cos t
p(t) = sin t
Mamy więc zawsze p2+ x2 =1. Za zmienną niezależną można przyjąć pęd p lub położenie x, i rozkład prawdopodobieństwa można przedstawić względem jednej lub drugiej zmiennej. Jeśli oznaczymy przez P(x) gęstość prawdopodobieństwa względem x, zaś przez Q(p) gęstość prawdopodobieństwa względem p, to powinniśmy mieć
Q(p) dp = P(x) dx
pod warunkiem, że związek pomiędzy q i p jest dany wzorem p2+ x2 =1.
Stąd możemy wyliczyć Q(p):
Q(p) = P(x) |dx/dp|
Uwaga: ze względu na to, że Q i P mają być nieujemne, wstawiliśmy w powyższej formule wartość bezwzględną pochodnej
P(x) mamy, to (przyjęliśmy amplitudę 1)
P(x) = 1/ (π √ (1 - x2) )
Wyrażając teraz x przez p, mamy (1 – x2) = p2, stąd
P(x) = 1/(π |p| )
Z drugiej strony, ponieważ x = √ (1 - p2) , znajdujemy
|dx/dp| = |p|/√ (1 – p2)
No i stąd
Q(p) = P(x) |dx/dp| = (1/(π |p| )) |p|/√ (1 – p2) = 1/ (π √ (1 - p2) )
Dokładnie taka sama formuła na rozkład jak dla położenia!
Tyle matematyka. Ale ja tego nie rozumiem. Wciąż mi się wydaje, że patrząc w przypadkowej chwili na huśtawkę, „najprawdopodobniej” zastanę ją w skrajnym położeniu i z małą prędkością – bo w tych skrajnych położeniach przebywa najdłużej a przez położenie równowagi przemyka szybko.
